差分方程(2)-稳定性.ppt

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差 分 方 程(2) ——稳定性 1.差分方程模型 对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (1-1) 若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0, 则称xn = x (n)是差分方程(1-1)的解, 包含个任意常数的解称为(1-1)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(1-1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1-1)的特解. 若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现. 若有常数a是差分方程(1-1)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1-1)的平衡点. 又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|<1时, b/(a +1)是稳定的平衡点. 二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数. 当r = 0时, 它有一特解 x* = 0; 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方程 ?2 + a? + b = 0 的两个根分别为 ?=?1, ?=?2. ① 当?1, ?2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(?1)n + C2(?2)n ; ② 当?1, 2=?是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)?n; ③ 当?1, 2= ? (cos? + i sin? ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ ? n (C1cosn? + C2sinn? ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |?i |<1时, 平衡点x*是稳定的. 则 对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程 时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此 当 时, x*是不稳定的. 当 时, x*是稳定的; 当 2. 建模实例:差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型) t??, x?N, x=N是稳定平衡点(与r大小无关) 离散形式 x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) yk ~某种群第k代的数量(人口) 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N 讨论平衡点的稳定性,即k??, yk?N ? y*=N 是平衡点 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y*=N 讨论 x* 的稳定性 变量代换 (2)的平衡点 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 稳定性判断 (1)的近似线性方程 x*也是(2)的平衡点 x*是(2)和(1)的稳定平衡点 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点 补充知识(刚学过的): 一阶非线性差分方程 的平衡点及稳定性 0 1 的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性 x* 稳定 x* 不稳定 另一平衡点为 x=0 不稳定 0 1/2 1 0 1 的平衡点及其稳定性 初值 x0=0.2 数值计算结果 b 3, x? b=3.3, x?两个极限点 b=3.45, x?4个极限点 b=3.55, x?8个极限点 0.4118 100 0.4118 99 0.4118 98 0.4118 97 0.4118 96 0.4118 95 0.4118 94 0.4118 93 0.4118 92 0.4118 91 ? ? 0.3796 3 0.3366 2 0.2720 1 0.2000 0 b=1.7 k 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 ? 0.6049 0.6317 0.4160 0.

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