差分方程(3)-Matlab求解.ppt

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差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型 例1、某种货币1年期存款的年利率是r , 现存入M元,问年后的本金与利息之和是多少? Xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2 ····· 以k=0时x0=M代入,递推n次可得n年后本息为 例2、污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例q,问多长时间才能将污水浓度降低一半? 记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得 以cn=c0/2代入即求解。 1. 一阶线性常系数差分方程 濒危物种的自然演变和人工孵化 问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种,它在较好自然环境下,年均增长率仅为1.94%,而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%,如果在某自然保护区内开始有100只鹤,建立描述其数量变化规律的模型,并作 数值计算。 模型建立 记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r,则第k+1年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2······ 已知x0=100, 在较好,中等和较差的自然环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程,递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况 Matlab实现 首先建立一个关于变量n ,r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end 在command窗口里调用sqh函数 利用plot 绘图观察数量变化趋势 可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示 红 绿 兰 兰绿 洋红 黄 黑 白色 : + o * . X s d 表示不同的线型 plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图 人工孵化是挽救濒危物种的措施之一,如果每年孵化5只鹤放入保护区,观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 Xk+1=aXk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适,可以令 Xk+1=aXk +b ,a=1+r function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end k=(0:20); %一个行向量 y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量 round([k, y1]) 对k, y1四舍五入,但 是 不改变变量的值 plot(k , y1) k, y1 是行向量列向量都可以 也可以观察200年的发展趋势,以及在较差条件下的发展趋势,也可以考察每年孵化数量变化的影响。 一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性 自然环境下,b=0 人工孵化条件下 令xk=xk+1=x得 差分方程的平衡点 k→∞时,xk→x,称平衡点是稳定的。 2. 高阶线性常系数差分方程 如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk,而且与以前时段变量有关,就要用高阶差分方程来描述 一年生植物的繁殖 一年生植物春季发芽,夏天开花,秋季产种,没有腐烂,风干,被人为掠取的那些种子可以活过冬天,其中一部分能在第2年春季发芽,然后开花,产种,其中的另一部分虽未能发芽,但如又能活过一个冬天,则其中一部分可在第三年春季发芽,然后开花,产种,如此继续,一年生植物只能活1年,而近似的认为,种子最多可以活过两个冬天,试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律,及它能一直繁殖下去的条件。 模型及其求解 记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的(2岁种子)比例仍为b,1岁种子发芽率a1,2岁种子发芽率a2。 设c,a1,a2固定,b是变量,考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为Xk,显然Xk与Xk-1,Xk-2有关,由 Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 +

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