向量的坐标表示跟其运算.doc

向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如读作向量，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如，表示由到的向量. 为向量的起点，为向量的终点）.向量 （或）的大小叫做向量的模，记作（或）. 注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ② 长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的 注意与0的区别 ③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 2）向量坐标的有关概念 ① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为和. ② 将向量的起点置于坐标原点，作，则叫做位置向量，如果点的坐标为，它在轴和轴上的投影分别为，则 ③ 向量的正交分解 在②中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘上实数后组成的和式，该和式称为、的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对叫做向量的坐标，记为=. 一般地，对于以点为起点，点为终点的向量，容易推得，于是相应地就可以把有序实数对叫做的坐标，记作=. 3）向量的坐标运算：， 则. 4） 向量的模：设，由两点间距离公式，可求得向量的模. . 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数. 例4 已知点的坐标为，点的坐标为，且，求点的坐标. 解：点的坐标为 或 . 例5 已知，求、的坐标. 解： 例6 设向量，化简： （1）； （2）. 解：都为. 2. 向量平行的充要条件 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知与为非零向量，若，则的充要条件是，所以，向量平行的充要条件可以表示为： 例7 已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标. 解：的坐标为 或 . 3. 定比分点公式 1）定比分点公式和中点公式 ① 是直线l上的两点，是l上不同于的任一点，存在实数， 使=，叫做点分所成的比，有三种情况： (内分) 0 (外分) -1 (外分) -10 ② 已知、是直线上任一点，且=.是直线上的一点，令，则，这个公式叫做线段的定比分点公式，特别地时，为线段的中点，此时，叫做线段的中点公式. 注：① 可得； ② 当时，定比分点的坐标公式和显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在 2）三角形重心坐标公式 设的三个点的坐标分别为，为的重心，则 例8，点在直线上，且，求出的坐标. 解：当在上时，；当在延长线上，. 例9，是直线上一点，若，求点的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得. *方法提炼* 几个重要结论 若为不共线向量，则，为以为邻边的平行四边形的对角线的向量； ； 3. 为的重心 【基础夯实】 1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝ ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同. 评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 2.下列命题正确的是（ C ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 3. 在下列结论中,正确的结论为（ D ） (1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件 (2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件 (3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件 (4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 A. (1)(3)