向量法解二面角例题跟练习题.doc

§向量法求二面角 例1（2010江西卷20）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求平面与平面所成的二面角的正弦值. 练习：1..若二面角的两个半平面的法向量分别为和，则这个二面角的余弦值是（ ） A.0 B. C. D. 2.（2011年全国新课标）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 课后作业： 1. .如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小为____________． 2. 如图，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成的角； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成的角． 4. (2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q -BP-C的余弦值． 5. (2012·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PCAD；(2)求二面角APC-D的正弦值． 6. 7. .正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角． 8. 如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求异面直线AP与BC所成角的大小； （3）求二面角C—PA—B的大小. (2012·天津改编) 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PCAD； (2)求二面角APC-D的正弦值． [审题视点] 建立空间坐标系，应用向量法求解． 解　如图， 以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)， C(0,1,0)，B－，，0，P(0,0,2)． (1)证明：易得＝(0,1，－2)， ＝(2,0,0)． 于是·＝0，所以PCAD. (2)＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)． 设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)， 则即不妨令z＝1， 可得n＝(1,2,1)． 可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)． 于是cos〈m，n〉＝＝＝. 从而sin〈m，n〉＝. 所以二面角APCD的正弦值为. P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA. (1)求证：PC∥平面EBD； (2)求平面PCD与平面PAB所成的角的大小(用反三角函数表示)． 课后作业: 4. 5. 6.(2010·安徽·理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角B－DE－C的大小 7. 8. (2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°，FC平面ABCD，AEBD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD平面AED； (2)求二面角F - BD- C的余弦值． 〖解〗解：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC， ∴PC⊥AB∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB 又PCCD=C，∴AB平面PCB （2）由（1）AB⊥平面PCB， ∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC= 以B为原点，建立如图所示的坐标系. 则A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0），P（，0，2）。 则 ∴异面直线AP与BC所成的角为 （3）设平面PAB的法向量为 则即解得令z=－1，得 设平面PAC的法向量为 则 解得令 【防范措施】 正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等． 【示例】? (2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q -BP-C的余弦值． 实录　如图，以D为坐标