半正定矩阵性质的研究论文.doc

PAGE PAGE 8 本科毕业论文 半正定矩阵的性质 学 号：201012010333 学生姓名：王 悦 指导教师：高福顺 所在学院：数学与统计学院 所学专业：数学与应用数学 二O一四年五月 摘 要 本文在半正定矩阵定义的基础上, 应用正定矩阵的相关性质, 研究了半正定矩阵的性质, 判定及其实际应用. 关键词：矩阵; 半正定矩阵; 主子式; 合同变换 Abstract In this paper, we studied the properties, decision and practical application of positive semi-definite matrix by using the properties of definite matrices based on the definition of positive semi-definite matrix. Keywords：Matrix; Positive semi-definite matrix; Principal minor; Congruent transformation 目 录 中文摘要………………………………………………………………………………Ⅰ 英文摘要………………………………………………………………………………Ⅱ 目 录…………………………………………………………………………………Ⅲ 1. 引 言……………………………………………………………………………………1 2.主要结果…………………………………………………………………………………2 2.1基本概念………………………………………………………………………2 2.2半正定矩阵的性质…………………………………………………………………3 2.3秩为的半正定矩阵的性质……………………………………………………6 3应用举例………………………………………………………………………………………7 致 谢………………………………………………………………………………………9 参考文献……………………………………………………………………………………10 1.引 言 矩阵是线性代数的一个重要内容, 是解决许多实际问题的重要工具, 在物理学及其它科学技术领域, 在经济及其它社会领域都有广泛的应用. 1850年, 英国数学家西尔维斯特(SylveSter, 1814_1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时, 因为无法使用行列式而引入了矩阵的概念, 它的产生对于解线性方程组有很大的帮助. 1989年, 陈顺卿, 冯慈璜等人对正定矩阵做出了进一步的研究, 给出了关于矩阵特征根的一个不等式, 由此导出有关矩阵迹的一些不等式. 1994年, 姚存峰在关于次半正定矩阵一文中给出了次半正定矩阵的基本概念. 论述了次半正定矩阵的基本性质, 讨论了次半正定矩阵Kroneeker乘积和Hadamard乘积的次半正定性. 1996年, 欧本博在关于半正定矩阵的一些结果中给出半正定矩阵的一种合同标准形并由此得出了半正定矩阵的两个性质:半正定矩阵的行列式非负; 可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定. 2004年, 朱广化在半正定矩阵迹的两个不等式一文中,利用矩阵代数的理论与方法, 研究了半正定矩阵的不等式问题, 给出半正定矩阵迹的两个不等式. 2009年, 邹黎敏, 胡兴凯, 伍俊良, 在正定矩阵的性质及判别法一文中, 得到了正定矩阵对称积, 实部的估计, 谱半径估计以及行列式估计的一些结果. 提出了判断矩阵正定性的算法,并给出了算例. 2009年7月, 刘畅, 徐兆棣在正定矩阵性质的推广一文中, 通过运用正定矩阵的定义和一般理论, 得出了正定( 半正定) 矩阵的偏序理论, 即是正定( 半正定) 矩阵的一些重要性质, 得出了一些矩阵不等式; 并将代数中的均值不等式推广到矩阵形式的不等式. 本文在前人研究的基础上, 以半正定矩阵的概念为基础, 应用正定矩阵的相关性质, 研究半正定矩阵的性质, 判定及其应用问题, 从而更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质. 2.主要结果 2.1 基本概念 定义2.1 设, , 若任意的, 都有, 则称为对称正定矩阵, 记 定义2.1.2 设, , 若对于任意的, 有, 则称矩阵为半正定矩阵. 记作. 如果,记作. 定义2.1. 设, 若存在和非零向量, 使