向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 3 向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广 一、奔驰定理及证明 HYPERLINK /2221712 \t _blank 图1 如图1，已知P为内一点，则 奔驰定理 证明：若，则，不妨设 (1) 同理可得， 奔驰定理得证 最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位 向量的关系，将它们放入单位圆中。图2 如图2，已知，所对的角分别为则 真·奔驰定理 这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。 奔驰车标 接下来，我们要证明的就是这个了。 这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。 于是整个定理就得到了证明。 二、奔驰定理在向量中应用 例1、若内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且,则该的面积为 。 答案： 答案解析：由奔驰定理得： 例2、【2016年清华领军】，则 答案： 例3、，且满足|PB|=2，|PA|=2，，且，则 的面积为（ ） 答案： 三、奔驰定理推广 推广1、如果P不在三角形内呢？ 既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x轴上方为正，下方为负 图3 如图3，已知P为平面内一点，则 EX·奔驰定理 这个是对奔驰定理的推广，我称它为【EX·奔驰定理】。 那么最后我们对它做进一步推广，大家可以来思考一下。 推广2、【EX·奔驰定理-A】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？ 推广3、【EX·奔驰定理-B】将三角形改为棱锥，P为顶点，结论是否依旧成立？ 若不成立，需要如何修改？