平面向量与其它数学知识的交汇举隅.docVIP

平面向量与其它数学知识的交汇举隅 常州市小河中学 顾银芳 平面向量是数学的重要内容,也是重要的数学工具。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，是解决问题的重要工具。它具有代数和几何的双重身份,并融数、形与一体，是沟通代数、几何、三角等知识的桥梁，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，因此向量也成为高考考查的一个热点。下面就向量与其它数学知识的交汇列举几例加以分析。 平面向量与函数的交汇 将向量的运算与函数的解析式联系在一起，将函数的图象与向量的坐标相对应，使平面向量与函数及其图象牵起手来，编制成有关平面向量与函数图象的综合题，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 例1、设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ） A． B． C． D． 分析：将函数的解析式按x的降幂整理即可寻得解题思路。 解：将函数解析式整理得： 由题意该函数的图象是一条直线，则其解析式是关于x的一次函数，所以 ，即，所以。 点评：本题是利用“平面向量的数量积是一个实数”这一结论将函数和平面向量有机结合。除此之外，平面向量的坐标运算也是代数式的运算。设则可利用下列几个公式来建立函数关系式： (1) (2)∥ （3）向量内积公式=； （4）两向量的夹角公式等 平面向量与三角的交汇 平面向量中的夹角是引起向量与三角交汇的主要因素，它把向量与三角函数有机地综合在一起，使三角问题得以充实与加强，有效地考查学生解决问题能力。它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与解三角形的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面. 例2 、已知向量=(cosx,sinx)，=(cosx，－sinx)，且x∈[0,]， 求：①·及|＋|；②若f(x)= ·－2λ|＋|的最小值是－，求λ的值。 解：①·=cosx·cosx－sinx·sinx=cos2x； |＋|===2 ∵x∈[0, ] ∴cosx＞0? ∴|＋|=2cosx ②f(x)=cos2x－4λcosx =2(cosx－λ)2－1－2λ2 ∵x∈[0, ] ∴0≤cosx≤1 ⑴当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾。 ⑵当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知-1－2λ2=－，解得λ=。 ⑶当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ=－，解得λ=，这与λ＞1相矛盾； 综上所述，λ=即为所求。 点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类与讨论的思想方法。 平面向量与数列的交汇 例3、.在直角坐标平面中，已知点，，，，其中n是正整数对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点 （1）求向量的坐标； （2）对任意偶数n，用n表示向量的坐标 解：(1)设点(x,y), 关于点的对称点的坐标为(2－x,4－y), 关于点的对称点的坐标为(2+x,4+y), ∴=(2,4). (2) =, 由于,得 =2() =2（,）=（n,） 点评：本题向量的坐标呈周期性的规律出现，这正是数列的一个特征的体现，从而形成向量与数列的知识交汇，解本题的关键之所在就是找到这两者的交汇点。 平面向量与不等式的交汇 平面向量数量积的一些性质及其平面向量的模常可以建立一些不等关系，如：（1）；（2）。 例4、已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|， 则 （ ） (A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－) 解：对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，故两边平方得： 即： 又上式对任意t∈R，恒成立，即有： 。 即： 故当时，上式成立，本题应选 （C） 点评：在以向量知识为背景的题型中，涉及到有关模的问题，常用的处理方法是平方，转化为向量的数量积来解决问题。本题中的恒成立问题也是属于探索性问题的常见题型，注意利用化归思想进行转化。 平面向量与导数的交汇 向量、导数都是新课程新增内容，它们都是重要的解题工具。同时又是新旧知识的一个重要的交汇点。 例5、已知向量 是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之. 解： 点评：平面向量与函数之间若建立了高次函数的关系或是一些超越常见基本函数的关系，常使用“求导”的方法，利用导数这一重要的数学解题工具处理问题。 平面向量与解析几何的交汇 平面向量与解析几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面解析几何知识，同时考查了向量知识在平面解析几何问题中的运