北师大版九年级下册第3章 -3.3_圆周角和圆心角的关系1.ppt

九年级数学(下)第三章圆 3.3 圆周角和圆心角的关系 圆周角定理 . O B C A 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角 叫圆周角. 练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 不是 不是 是 不是 不是 图１ 图２ 图３ 图４ 图５ 圆周角 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? B A C D E ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。 A C O 圆周角和圆心角的关系 如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系 ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ●O A B C ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. A B C D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, ∠ABD+∠CBD= ∠AOD+∠COD, 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角和圆心角的关系 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, A B C ∠ABD -∠CBD = (∠AOD-∠COD), 圆周角和圆心角的关系 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 试找出下图中所有相等的圆周角。 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 ∠2=∠7 ∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8 处理课本习题 如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？ 同弧 所对的圆周角相等. (等弧) 思考: 相等的圆周角所对的弧相等吗? 在同圆或等圆中 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 圆周角定理推论: B O A D C 1. 相等的圆周角所对的弧相等. 2. 在同圆或等圆中, 推论1中， ⑴“同弧或等弧”能否改为“同弦或等弦”？ ⑵ “同圆或等圆”这一条件能否省去？ 不能 不能 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 ●O B A C D E 1.如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么? 2.如图,AB是直径,你能确定∠C的度数吗? 推论2： 直径所对的圆周角是直角； 反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 ●O A B C 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 3.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小. 推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。 ●O C A B D ●O D A B C 如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到C,使AB=AC,则CD与BD的大小有什么关系?为什么? 返回 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。 （1）当船与两个灯塔的夹角 ∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角 ∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ 分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。 船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以