北邮考研概率论与数理统计7.4区间估计(3).ppt

* 1、需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的. 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. 注意 例如，设X1,…Xn是取自 的样本， 求参数 的置信水平为 的 置信区间. ~N(0, 1) 取枢轴量 * 由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得P( aUb)=0.95即可 . 例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95 我们得到 均值 的置信水平为 的 置信区间为 * 由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95 这个区间比前面一个要长一些. 置信区间为 我们得到 均值 的置信水平为 的 * 我们总是希望置信区间尽可能短. 类似地，我们可得到若干个不同的置信区间. 任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间. * 在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短. a =-b * 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 注意 * 也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾. 实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些 . 我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长. 2、例 设x1, x2 , …, xn是来自均匀总体U(0, ? )的一个样本，试对给定的? (0? 1)给出? 的1-? 同等置信区间。 解:（1）取x(n)作为枢轴量，其密度函数为 p(y; ? )= nyn ， 0y 1； （2）x(n) /? 的分布函数为F(y)=yn, 0y 1，故 P(c≤x(n)/? ≤d)= d n-cn， 因此我们可以适当地选择c和d满足d n-cn=1-? （3）利用不等式变形可容易地给出? 的1-?同等置信区间为[x(n) /d，x(n) /c]，该区间的平均长度为 。不难看出，在0≤cd≤1及dn-cn=1-? 的条件下，当d=1, c= 时， 取得最小值，这说明 是? 的置信水平1-? 为最短置信区间。 * * * * * * * * * 第六章 参数估计 华东师范大学 * 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 第*页 * 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . §7.4 区间估计 * 譬如，估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值不一定恰恰就是1000条，可能大于也可能小于1000条. * 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. * 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等. 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 小的区间 ，使 们求出一个尽可能 置信区间. 称区间 为 的 置信水平为 的 1、 区间估计的概念 定义1 设? 是总体的一个参数，其参数空间为Θ，x1, x2 , …, xn是来自该总体的样本，对给定的一个? (0? 1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的? ∈Θ，有 （1） 则称随机区间（ ）为? 的置信水平为1-? 的置信区间，或简称（ ）是? 的1-?置信区间. 和 分别称为? 的（双侧）置信下限和置信上限. 定义 沿用定义1的记号，如对给定的? (0? 1)，对任意的?∈Θ，有