现代控制理论2.2(最优控制).pptVIP

现 代 控 制 理 论 课 件 ——最 优 控 制 系 统 设 计 §6.1 最优控制的基本概念 §6.2 无约束最优控制的变分方法 §6.3 线性调节器问题 *§6.4 受约束最优控制的极小值原理 *§6.5 最小时间系统的控制问题 §6.1 最优控制的基本概念 在古典控制理论中，反馈控制系统的传统设计方法有很多局限性，其中最重要的缺点是: * 方法不严密，大量地依靠试探法。这种设计方法对于多输入-多输出系统以及复杂系统，不能得到令人满意的设计结果。 * 另一方面，近年来，由于对系统控制质量的要求越来越高，和计算机在控制领域的应用越来越广泛，所以最优控制系统受到很大重视。 当需要实行具体控制时，有必要选择某一控制方式。 考虑这些情况，引入控制的性能指标概念，使这种指标达到最优值（指标可以是极大值或极小值）就是一种选择方法。这样的问题就是最优控制。 但一般来讲不是把经济、时间等方面的要求全部表示为这种性能指标，而是把其中一部分用这种指标来表示，其余部分用系统工作范围中的约束来表示。 * 求解：对这种问题应用古典变分法，作为其扩展的极大（或极小）值原理，或者用动态规划方法来解决。 性能指标J在数学上称为泛函，而在控制系统术语中称为损失函数。通常，在实际系统中，特别是在工程项目中，损失函数的确定很不容易，需要多次反复。 性能指标已有了如下几种公式化的形式: ①最短时间问题： 在最优控制中，一个最常遇到的问题是设计一个系统，使该系统能在最短时间内从某初始状态过渡到最终状态。此最短时间问题可表示为极小值问题。 或者: 式中，u为控制作用，矩阵R，Q 称为权矩阵，在最优化过程中，它们的组成将对X和u施加不同的影响。 在时间[0， ]内，使电枢绕组上的损耗为最小，即最优控制问题表示为： 式中 为最小电枢电流；R为绕组电阻。 将上述最优控制问题，写为典型形式： 设状态变量 （转角）， （角速度），令： 则状态方程为： 式中： 初始状态给定为： 终点状态给定为： 性能指标函数为最小，即： 为最小。 §6.2 无约束最优控制的变分方法 所谓无约束，是指控制作用u(t)不受不等式的约束，可以在整个r维向量空间中任意取值. 一、古典变分法 无约束最优控制的提法： 已知受控系统的状态方程是: 在 范围内有效，式中，X为n维状态向量，u为r维控制向量。这是等式约束。 给定：始点与终点的时间固定，状态自由。 要求确定控制作用u(t)，使性能指标: 达到极小值。 由上述最优控制的提法知，约束方程为状态方程，所以现在的问题成为有约束条件的泛函极值问题，即在状态空间中，在曲面 上找出极值曲线。 得 ⑤ 因为极小值存在的必要条件是J对 的一次变分为0，所以令 从而得到以下一组方程: (6.1) 以上四个方程叫作—— 控制作用不受约束的庞德亚金方程。 二次变分： 如果 半正定，及 半正定，则 为非负值，即上述两个半正定条件为J极小的充分条件。 由庞德亚金方程可知，初端与终端的各种不同情况都将影响贯截方程，即贯截条件，这 一点是较难掌握的。 二、贯截条件的分析 ① 始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为： 因为 固定，所以有 ，而 是完全任意的，则由前面推出的贯截方程: 得到贯截条件为： ② 系统的始点时间与状态都固定， 终点状态固定， 时间不固定： 因为 和 都为0，即始点与终点的状态固定，没有