- 1、本文档共25页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
习题三
1.证明下列问题:
(1)若矩阵序列收敛于,则收敛于,收敛于;
(2)若方阵级数收敛,则.
证明:(1)设矩阵
则
设
则
,
若矩阵序列收敛于,即对任意的,有
,
则
,,,
故收敛于,收敛于.
(2)设方阵级数的部分和序列为
,
其中.
若收敛,设其和为,即
,或,
则
.
而级数的部分和即为,故级数收敛,且其和为,即
.
2.已知方阵序列收敛于,且,都存在,证明:
(1);(2).
证明:设矩阵
若矩阵序列收敛于,即对任意的,有
.
由于对任意的,有
,
故
=,
而
,
,
故
.
因为
,.
其中,分别为矩阵与的代数余子式.
与(1)类似可证明对任意的,有
,
结合
,
有
=,
即
.
3.设函数矩阵
,
其中,计算.
解:根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法,有
(1);
(2);
(3);
(4)
(5)=
.
4.设函数矩阵
,
计算和.
解:根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法,有
(1)=
;
(2)==.
5.设为阶常数对称矩阵,,证明:
(1);
(2).
证明:(1)
,
(2).
6.证明关于迹的下列公式:
(1);
(2);
(3).
其中.
证明:(1)因为
,
而
,
故
(2)因为
,
则
,
而
,
故
.
因为
故
则
故
.
7.证明:
,
其中为向量函数.
证明:
设
,
则
,
故它是的数量函数,设
,
有
.
8.在中将向量表示成平面直角坐标系中的点,分别画出下列不等式决定的向量全体所对应的几何图形:
(1) (2) (3) .
解:根据
,
作图如下:
9.证明对任何,总有
.
证明:因为
故
10.证明:对任意的,有
.
证明:设,则
由于
,
故
,
即
.
11.设是正实数,证明:对任意,
是中的向量范数.
证明:因为
(1)且;
(2);
(3)对于,
,
则
故
.
因此是中的向量范数.
12.证明:
是矩阵的范数,并且与向量的1-范数是相容的.
证明:因为
(1) ,且;
(2) ;
(3)
(4)设,则
,
故
因此是与向量的1-范数相容的矩阵范数.
13.设,且可逆,证明:
.
证明:由于
,,
则
,
故
.
14.设,且证明:可逆,而且有
(1);
(2).
证明:(1)由于
,
故
,
即 .
(2)因为
,
两边右乘,可得
,
左乘,整理得
,
则
,
即 .
15.设证明:
(1),特别地;
(2)当时,;
(3);
(4)当时,.
证明:(1)
.
又因为
,
故
.
(2)当时,二项式公式
成立,故
同理,有
,
故
.
(3)由于幂级数对给定的矩阵,以及任意的都是绝对收敛的,且对任意的都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则
,
同理,有
故
.
因为
故
.
又当时,
,
则
同理,可得
16.求下列三类矩阵的矩阵函数
(1)当为幂等矩阵()时;
(2)当为对合矩阵()时;
(3)当为幂零矩阵()时.
解:(1) ,设矩阵的秩为,则的特征值为1或0, 可对角化为
,
则
,
(2) 当时,矩阵也可对角化,的特征值为1或, 可对角化为
,
其中1有个.
则
(3)当时, 的特征值均为0,则存在可逆矩阵,使得
,
其中,
又,则
,
于是
故Jordan块的阶数最多为2,不妨设
,,
即
则
,;
,.
故
0,
,
则
,
,
因此
,
,
所以
,
,
.
17.若矩阵的特征值的实部全为负,则
.
证明: 设的特征值为,则存在可逆矩阵,使得
,
其中,
则
,
其中
又
,
且,故,因此,则.
18.计算和,其中:
(1);
(2);
(3).
解:(1)设,则
.
由于
,,
且
,,
则
,.
(2)该矩阵的特征多项式为
最小多项式为.
19.计算下列矩阵函数:
(1),求;
(2),求;
(3),求;
(4),求及
20.证明:
,,
其中为任意方阵.
证明:(1) 因为
,,
故
,
,
则
.
(2)因为矩阵的特征值均为,故存在可逆矩阵,使得
则
21.若为反实对称(反Hermite)矩阵,则为实正交(酉)矩阵.
证明: 因为
,又.
故
.
当为反实对称,即时,
,
故为实正交矩阵;
当为反Hermite矩阵,即时,
,
故为酉矩阵.
22.若为Hermite矩阵,则是酉矩阵,并说明当时此结论的意义.
证明:因为,故
,
则
,
故是酉矩阵.
当为一阶Hermite矩阵时, 为一实数,设,则上述命题为
23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数
您可能关注的文档
- 直播平台商业计划书.doc
- 团体计划书示例.doc
- 毕业设计-PWM交流变频调速系统.doc
- 太阳能光伏并网逆变仿真-论文.doc
- 基于-JSP的学生成绩管理系统.doc
- 基于-PLC的三层电梯控制系统设计.doc
- 基于回归分析及销售模型.doc
- 超高墩大跨预应力混凝土曲线连续刚构桥综合施工技术研究总报告.doc
- 注塑模具-论文设计.doc
- 现代交通隧道与隧道防灾救援的研究.doc
- 七章货物的保险.pptx
- 三章国际间接投资.pptx
- 人性假设理论.pptx
- 外研高一英语必修三ModuleIntroduction汇总市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件.pptx
- 月相成因优质获奖课件.pptx
- 小学二年级语文课件《狐假虎威》省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.pptx
- 养羊业概况专题知识讲座.pptx
- 微生物的实验室培养市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件.pptx
- 人教版六年级下册式与方程整理与复习市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件.pptx
- 必威体育精装版高中精品语文教学:第二单元-第7课-诗三首:涉江采芙蓉、-短歌行、归园田居市公开课获奖课件省名师.pptx
最近下载
- 管理学-PPT课件(全).pptx
- 高峰数字(四)_原创精品文档.pdf VIP
- “深圳工匠杯”深圳市第十四届职工技术创新运动会暨2024年深圳技能大赛碳排放管理员技能竞赛理论题库及答案(300题).docx VIP
- 粉针剂包装技术与设备.pptx
- 全文解读新修订的2021《中国共产党统一战线工作条例》ppt精品.pptx VIP
- 白蚁防治服务合同协议书范本.docx VIP
- (2022年新版)义务教育初中英语课程标准详细解读 (新课标解读讲座培训课件).pptx VIP
- 湖南《住宅工程质量常见问题防治技术规程》.docx
- 葡萄酿酒有限公司生产安全事故应急预案.docx VIP
- 路基爆破设计及施工组织方案.doc
文档评论(0)