北理电路分析基础 第七章.ppt

设所在二阶电路中所含的电感和电容为并联，则可化成如图7-13(a)所示的两个单口网络，应用诺顿定理可化成如图7-13(b)所示的GCL并联电路。 (a) (b) 图7-13 GCL并联电路 含源电 阻网络 代入上式可得 据KCL可得 将 (7-19) 这是一个非齐次的二阶微分方程，由它可解出iL(t) 。如果将(7-19)和(7-10)比较可知它们是对偶的。由(7-16) 可得GCL并联电路阻尼电导 根据(7-14)利用对偶关系可得 (7-21) 1. 即 S1和S2为不相等的负实数，过阻尼； 2. 即 S1和S2为相等的负实数，临界阻尼； 3. 即 S1和S2为共轭复数，其实部分为负数，欠阻尼。 (7-20) 例7-6 图7-14所示电路，假定开关S连接15V电压源已久，在t=0时改与10V电压源接通，求i(t) ,t≥0 解 初始条件 图7-14 例7-6 _ + + _ 换路后10V电压源与25Ω串联可化为0.4A电流源与25Ω并联电路，对GCL并联部分，由(7-21)式 * 电路分析基础 图7-1 LC电路中的能量振荡 图7-1 LC电路中的能量振荡 图7-1 LC电路中的能量振荡 设LC回路如图8-2所示， L=1H，C=1F，uC(0)=1V，iL(0)=0。 图7-2 LC振荡回路 元件VCR得 初始条件 其解为 (7-1) (7-3) (7-5) (7-2) (7-4) (7-6) 显然这两个解即满足初始条件也满足源方程。 电路储能为 (7-7) 将(7-5)、(7-6)代入(7-7)并考虑，L=1H，C=1F可得 且 等幅振荡时，储能在任一时刻为常量。即对所有t≥0有 (7-8) 图7-3 RLC串联电路 元件的VCR (7-9) 含源电 阻网路 (a) 由KVL可得二阶微分方程 (7-10) (b) (7-10)为线性常系数二阶微分方程，他的二个初始条件为uC(0)和u’C(0),uC(0)为电容的初状态(初始电压)，u’C(0)为 (7-11) 现研究图7-3电路的零输入响应，令(7-10)中的uOC(t)=0得齐次方程 (7-12) 即 假设上式微分方程的解为 (7-13) 将其代入(7-12)可得 上式除以Kest得 (7-14) (7-15) 特征根又称为固有频率。R、L、C的数值不同，特征根，亦即固有频率S1和S2可出现三种情况: 上式称为微分方程7-12的特征方程，这一方程有两个根，称为微分方程7-12的特征根。即 1. 即 S1和S2为不相等的负实数，过阻尼； 2. 即 S1和S2为相等的负实数，临界阻尼； 3. 即 S1和S2为共轭复数，其实部分为负数，欠阻尼。 特征根实部，又称衰减系数。 特征根虚部，又称衰减振荡角频率。 称为谐振频率，为无阻尼状态时振荡角频率。 具有电阻的量纲，称为RLC串联电路的阻尼电阻记为Rd (7-16) 例7-1 图7-3所示电路中C=1F，L=1H，R=3Ω；uC(0)=0，iL(0)=1A；t≥0时uOC(t)=0，试求uC(t)及iL(t)，t≥0 解： 过阻尼， 特征根为 故： 初始条件： 解形式 可得： 解得： 故得： 图7-4 过阻尼时零输入响应uC(t)和iL(t) 解： 临界阻尼，解形式 特征根为 例7-2 图7-3所示电路中R=1Ω，L=0.25H，C=1F；uC(0)=－1V，iL(0)=0；t≥0时uOC(t)=0，试求iL(t)，t≥0 初始条件为 由KVL得 即有 由解答形式可知 图7-5 临界阻尼时的零输入响应iL(t) 解得 故得 代入初始条件得 0.74 1 2 t/s O α、ωd的为特征根S1和S2的实部和虚部。S1、S2为共轭复数，即 解 欠阻尼，解形式 特征根为共轭复数，响应是振荡性的。特征根的实部α又称衰减系数，其值为1/2；虚部ωd又称衰减振荡角频率，其值为 初始条件为 例7-3 图7-3所示电路中R=1Ω，L=1H，C=1F；uC(0)=1V，iL(0)=1A；求零输入响应uC(t)及iL(t) 。 解得 因此 或 由 得 据解答形式可知 图7-6 欠阻尼时零输入响应 例7-4 图7-7所示为LC振荡回路L=1/16H，C=4F，uC(0)=1V，iL(0)=1A，求零输入响应uC(t) 及iL(t)。 解：R=0，属于无阻尼。由欠阻尼的特征根，以R=0带入得 ω0称为谐振角频率 解答形式为 初始条件为: 由解答形式可知: 解得: 图7-7 例7-4 故得: 图7-8 无阻尼时的零输入响应 电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率s。固有频率可以是复数、实数和虚数，从而决定了响应为衰减振荡过程、非振荡过程和等幅振荡过程。固有频率