备战2017年高考数学一轮热点难点一网打尽：专题22 平面向量中的两个定理.doc.docVIP

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 第22讲 平面向量中的两个定理 考纲要求: 1．了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 基础知识回顾: 1.向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算， 运算法则：(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ的与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 运算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；　λ(＋)＝λ＋λ 2.共线向量定理向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ 2．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面向量的坐标表示： ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作＝，其中叫在x轴上的坐标，叫在y轴上的坐标． ②设，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点) 应用举例: 类型一、共线向量定理的应用 【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】 设两个非零向量与b不共线， (1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使k＋和＋k同向． 【答案】见解析；k＝1. 【例2】【2017河北正定一中高三月考】如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝eq \f(2,3)，＝，＝ (1)用，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 【答案】见解析 【解析】(1)延长AD到G，使＝eq \f(1,2)，连接BG，CG，得到?ABGC，所以＝＋， 则有＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(＋)，＝eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)(＋)， ＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， ＝－＝eq \f(1,3)(＋)－＝eq \f(1,3)(b－2)， ＝－＝eq \f(1,2)－＝eq \f(1,2)(b－2)． (2)证明：由(1)可知＝eq \f(2,3)，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线． 点评：共线向量定理的3个应用 (1)证明向量共线：对于向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． 类型二、平面向量基本定理的应用 【例3】【2017湖南衡阳八中月考】如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．e1与e1＋e2　　　　　 　B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 【答案】D 【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ))无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ))无解；选项D中，e1＋3e2＝eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量． 【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】如图，以向量＝，＝为邻边作?OADB，＝eq \f(1,3)，＝eq \f(1,3)，用，表示，，. 【答案】见解析 【例5】【2017湖北省襄阳市第四中学高三月考】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，，表示； (2)设＝x，＝y，证明：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是定值． 【答案】见解析 【解析】(1) ＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ. (2)证明：一方面，由(1)，得＝(1－λ) ＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3).② 而，不共线，∴由①②，得eq \b