数学练习题抽象函数(跟答案).doc

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数学练习题抽象函数(跟答案)

高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数,,恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。 2 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围 3. 设R上的奇函数,且f(x+3) =-f(x),求f(1998)的值。 4. 设函数对任意,都有, 已知,求,的值. 5. 已知f(x)是定义在R上的函数,且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值。 6. 设f(x)是定义R在上的函数,对任意x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0. (1)求证f(0)=1;(2)求证:y=f(x)为偶函数. 7. 已知定义在R2,6),试判断(4,8)是f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有>0 (1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小; (2)若f(k<0对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围。 9.已知函数是定义在(-∞,3]上的减函数,已知对恒成立,求实数的取值范围。 10.已知函数当时,恒有. (1)求证: 是奇函数;(2)若. 11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的,都满足: . (1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,,求数列{}的前项和. 12.已知定义域为R的函数满足. (1)若 (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式. 13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0. (1)求;(2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明. 14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有0;②对任意,有;③. (1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:. 15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围. 16.已知函数是定义在R上的增函数,设F. (1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; (2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。 18.函数对于x0有意义,且满足条件减函数。 (1)证明:;(2)若成立,求x的取值范围。 19.设函数在上满足,,且在闭区间[0,7]上,只有. (1)试判断函数的奇偶性; (2)试求方程=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 20. 已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。 21. 已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。 22. 是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。 答案: 1. 解:令= -1,=x,得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值,令=1,=-1,则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2. 分析:根据函数的定义域,-m,m∈[-2,2],但是1- m和m分别在[-2,0]和[0,2]的哪个区间内呢?如果就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数,则f (x)有性质f(-x)= f (x)=f ( |x| ),就可避免一场大规模讨论。 解:∵f (x)是偶函数, f (1-m)f(m) 可得,∴f(x)在[0,2]上是单调递减的,于是 ,即 化简得-1≤m。 3. 解:因为f(x+3) =-f(x),所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x),故6是函数x=0处有定义,所以f(=f(,知 f(x)=f(≥0,x , f(1)=2, 同理可得 5.解:从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看,易联想到函数f(x)是周期函数。由条件得f(x)≠1,故 f(x+2)=f(x+4)=. 所以f(x+8)=.

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