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害虫治理与半连续动力系统几何理论
陈兰荪1) ,2)
1) 中国科学院数学与系统科学研究院 2) 福建师范大学闽南科技学院
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引言：
应用数学模型的方法耒研究生物种群管理决策，我们早在文献1)-4)中可以看到，特别是关于投放农药灭害虫的模型，最为经典最为简单的模型是以下阶段结构模型：
, (1)
其中x，y分别表示害虫的幼虫和成虫的密度，b表示幼虫的自然死亡率和单位时间由幼虫成长成成虫的成长率之和，c表在单位时间由幼虫成长为成虫的成长率， 表示成虫的自然死亡率； 表示喷洒农药对幼虫的杀死率， 表示喷洒农药对成虫的杀死率.
系统(1)当 时的定性相图有两种可能：
(b)
情况(a)说明当害虫的出生率大于死亡率时，害虫无限增长，反之(b)说明当害虫的出生率小于死亡率时害虫自动减少趋向于零，这种情况无需控制，对于情况(a)我们应用模型(1)选择适当的 和使系统由(a)转变成(b)完成了控制，具体的：
选择 和使 即可达到上述目的，使害虫趋向灭绝.
以上理论分析，是把投放农药看成是连续行为，然而在实际中投放农药是分批进行，也就是说杀害虫是一种脉冲行为，我们建立了灭害虫的脉冲微分方程模型：
(2)
其中：
若无脉冲 时微分方程的平衡点(0,0) 为不稳定
可以选取参数： ,
或
为微分方程的正特征根,使周期脉冲微分方程的平衡态(0,0) 为渐近稳定,害虫灭绝。
然而这样的研究结果，仍然得不到实际害虫管理人员的认同，他们在实际害虫管理工作中，并不是按照某周期时刻进行投放农药，而实际中是观察害虫发展到一定程度时才投放农药，例如在农田、森林中设置“监视器”耒时刻观察到害虫发展的“状态”，根据这个“状态”,的大小耒决定是否投放农药，为此我们又建立了数学模型：
(3)
这就是害虫数量发展的”状态脉冲反馈控制害虫的数学模型”,这是一个十分简单的模型，我们要通过这个模型研究害虫的可控性，研究通过控制后害虫的密度水平，以及在某些经济目标下的最优控制策略。
二，定义
定义1 ：为了研究一些更一般的情况，我们进一步考虑”状态脉冲微分方程”:
(4)
这里:
和 为 平面上的直线或曲线
称为脉冲集 称为的相集
我把由”状态脉冲微分方程” (4) 所定义的解映射所构成的“动力学系统”称为“半连续动力系统”，记为：, 我们规定系统的映射初始点p不能在脉冲集上， 为连续映射, , 称为脉冲映射
定义2 ：由脉冲微分方程(4)定义的半连续动力系统映射；
为 自身映射包括两个部份:
1) 微分方程:
(5) 初值为p 的Poincare映射
若
则半连续动力系统初值为p的映射为：
如下图：
2) 若存在时刻 有
脉冲映射
且
则半连续动力系统初值为p的映射为：
如下图(a)所示
(a) (b)
3) 在上述2)的情况下，若
存在时间有：则:
如上图(b)所示.
4) 重复上面的考虑若
类推有
三，半连续动力系统的性质
由上定义的半连续动力系统其映射满足性质：
1) ;
2)
关于连续动力系统的性质：
对p和t均连续；
半连续动力系统的映射 在脉冲时刻不具有对时间t的连续性, 但有性质：
对初始值p具有连续性.
四, 半连续动力系统的周期解
1) 如果微分方程系统(5)的周期解 ，不与脉集 相交， 也为半连续动力系统(4)的周期解。
2) 阶１周期解:
若相集N中存在－点p,且存在 使得：
而且脉冲映射
则 称为阶１周期解，其周期为 如下图所示：
则轨道：轨线 直线称为阶1环, 孤立阶1环为阶1极限环
阶1周期解的轨道稳定性：
定义：记为阶1周期解( 阶1环 ) 称为是轨道稳定的，如果对于任何在相集上存点p的邻域,对于内任意一点以 为初始点半连续动力系统的轨线存在T当时有：距离.
3) 阶2周期解与阶K周期解:
设 且存在 有 而且脉冲映射
又有：
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