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PAGE 31 资料 数列的求和 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法： 3．错位相减法：比如 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： ； （三）例题分析： 例1．求和：① ② ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：① ② （1）当时， （2）当 ③ 总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。 2．错位相减法求和 例2．已知数列，求前n项和。 思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。 解： 当 当 3.裂项相消法求和 例3.求和 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: 练习:求 答案: 4.倒序相加法求和 例4求证： 思路分析：由可用倒序相加法求和。 证：令 则 等式成立 1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )． 解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699． 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝ 解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21， 即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7． 解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)， ∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84． 3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( B )． A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5 解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C． 又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d， ∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8． 4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则 ｜m－n｜等于( C )． 解法1：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4， ∴d＝，a1＝???a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根． ∴，分别为m或n，∴｜m－n｜＝，故选C． f2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n． 由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，∴m＝，n＝，∴｜m－n｜＝． 5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为∴S4＝＝＝120． ∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27， ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3， 6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．．4 005 ．4 006 ．4 007 ．4 008 解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0. ∴S4 006＝＝＞0， ∴S4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0， 故4 006为Sn＞0的最大自然数. 选B． (第6题) 解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0， ∴S2 003为Sn中的最大值． ∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示， ∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， ∴在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4 006． 7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝－8＋2＝－6． ∵{an}是等差