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§1．6 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最值定理 二、零点定理与介值定理 * 一、有界性与最大值最小值定理 定义: 例如, 1 -1 x y o * 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. note:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. * 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证 注 在开区间连续的函数可能没 x y O 1 2 1 有界.例如 * 二、零点定理与介值定理 定义: 几何解释: * M B C A m a b 证 由零点定理, * 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例1 证 由零点定理, 同理可证,奇次实系数多项式至少有一个实根. 于是 * 例2 证 由零点定理, 证明的关键:构造辅助函数 F (x) = f (x) — x. 思考题 下述命题是否正确？ 答：不正确. 例：函数 * 例3 证 用反证法.设 f 不是严格单调的,则存在 x1 x2 x3 x x1 x2 x3 x * x1 x2 x3 x 以第二种情形,即 为例. 不妨设 由介值定理, 在区间 内,有 ,使 在区间 内,有 ,使 这表明,两个不同的点 对应于同一个函数值,这与 f 是一 一映射矛盾.这就证明了 f 是严格 单调的. 证毕. 由此推得,两个区间之间连续的 一一满射,作为函数一定是严格单调的.因此,由上节定理,我们得 定理 区间上连续函数的单值反函数必为连续函数. 作业 习题1.6 2 ,3. * * * * *
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