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“被除数加上除数的倍数后,结果的余数不变 ”的简单应用 例、143除以7余3,除以8余7,除以12余11,1000以内还有这样的数吗?如果有,请写出来。 解:∵[7,8,12]=168 ∴ 143+168=311 143+168×2=479 143+168×3=647 143+168×4=815 143+168×5=983 所以还有311、479、647、845、983. 带余除法的一些简单规律(2)同余规律 例、一个自然数,被4、5、6、9去除,余数都是1,试求符合条件的最小自然数。 分析:减去1后就能被4、5、6、9整除,说明它比[4,5,6,9]大1 (为什么说求最小的?) 例、一个自然数,被4除余2,被5除余3,被6除余4,被9除余7,试求符合条件的最小自然数。 如果自然数n分别除以几个除数所得的余数都是a,那么n比这几个除数的公倍数大b; 如果余数比这几个除数都小b,那么n比这几个除数的公倍数小b。 综合运用(二)同余规律的应用 例5、一个数除以3余2,除以5余3 ,除以7余2,求符合条件的最小数 解:符合条件除以3 余2,除以7余2的最小数是[3,7]+2=23, 而且23÷5=4……3 所以,符合条件的数是23 综合运用(二)同余规律的应用 例6、(课本例9)69、90和125被某个正整数N整除时,余数相同,试求N的最大值 解:∵三个数被N除余数相同, ∴N︱(90-69),即N︱21; N︱(125-90),即N︱35。 ∴ N是21和35 的约数, ∵要求N的最大值, ∴ N是21和35的最大公约数 即N=7 综合运用(三)逐步满足条件法 例7、(课本例6)一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1.求适合条件的最小的自然数 分析:“除以5余3”,即“加上2后能被5整除”,同样,“除以6余4 ”即“加2后能被6整数” 解:[5,6] -2=28,即28适合前两个条件,通过尝试,28+[5,6] ×4=148 148÷7=21…1 并且148<[5,6,7]=210 所以,适合条件的最小的自然数是148 课后小结 一、带余除法的意义及简单应用 二、带余除法的一些简单规律 三、综合运用的一些例子和方法 一、带余除法的意义及简单应用 简单应用(1)被除数=除数×商+余数 简单应用(2)利用余数解决排序问题 二、带余除法的一些简单规律 (1)被除数加上除数的倍数后,结果的余数不变 (2)如果自然数n分别除以几个除数所得的余数都是a,那么n比这几个除数的公倍数大a; 如果余数比这几个除数都小b,那么n比这几个除数的公倍数小b。 (3)如果两个整数a和b被自然数n除余数相同,那么这两个整数的差(大减小)一定能把n整除。反过来:如果两个整数之差恰好能把n整除,那么这两个整数除以n所得的余数一定相同。 三、综合运用的一些例子和方法 综合运用(一) 被除数=除数×商+余数的应用 综合运用(二) 同余规律的应用 综合运用(三) 逐步满足条件法 拓展练习 1、用某个自然数除300、262和205,得到相同的余数,问这个自然数是几? 2、在1-400的自然数中,被3,5,7除的余数都是2的数共有多少个? 拓展练习参考答案 1、用某个自然数除300、262和205,得到相同的余数,问这个自然数是几? 解:设这个自然数为N, ∵“某个自然数除300、262和205,得到相同的余数,” ∴N∣(300-262),即N∣38 N∣(262-205),即N∣57 ∴ N是38和57的公约数。 ∵ (38,57)=19 ∴这个自然数是19 3、在1-400的自然数中,被3、5、7除的余数都是2的数共有多少个? 解:被3、5、7除余数都是2的数,是比3、5、7的公倍数大2的数 ∵ [3,5,7] =105 ∴105×1+2=107 105×2+2=212 105×3+2=317 答:符合条件的自然数共有三个, 它们是107、212和317。. 4、一个自然数分别去除83, 213, 二个余数的和是9,问:这二个余数中最小的一个是多少? 分析:因为两个余数的和是9,去掉9后,两个数的和一定是除数的倍数。 解:(83+213)-9=287=7×41 83÷7=11………6 213÷7=30………3 8
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