求数列通项公式十种方法.doc

资料 1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律） 即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设，，若，求及数列的通项公式． 解：由题意可知：， ， . 因此猜想. 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n＝1时，结论显然成立． （2）假设当n＝k时结论成立，即. (3)则， 即当n＝k＋1时结论也成立． 由（1）、（2）可知，对于一切正整数，都有．（最后一句总结很重要） 2． 定义法（已知数列为等差或者等比） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列满足，，求的通项公式。 解：设等差数列的公差为. 因为，所以. 又因为，所以，故. 所以 . 3．公式法 若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。 （一定要讨论n=1，n≥2）　 例3.设数列的前项和为，已知 （Ⅰ）求数列的通项公式。 解：（Ⅰ）由 可得：当时， ， 当时， 而 ， 所以 4．累加法 当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列满足，且（），则数列{an}的前10项和为 解：由题意得： 5．累乘法 当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例5.已知数列满足，求的通项公式。　　解：由条件知 ， 在上式中分别令，得个等式累乘之， 即 ， 即 又 6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握 1、当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例题：已知数列满足，求的通项公式。 解：由 得 又 所以是首项为，公比为的等比数列 所以 因此数列的通项公式为. 2、当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为，其中的值由方程给出。（了解即可，不必掌握） 例题：在数列中，=2，=，求数列的通项。 解：由 得 又 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以 ，即 . 3、当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为。 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若，则，此时数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若，则可化为形式求解。（了解即可，不必掌握） 例题：已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。 解：由 得 所以数列是首项为=，的等比数列 所以 = ， 即 = 4、当递推公式为（为常数，且）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为。 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若，则是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若，则可转化为（其中）形式求解。 例10.已知数列{}满足，且（），求数列{}的通项公式。 解：原式可变形为 两边同除以得 …… ⑴ 构造新数列，使其成为公比的等比数列 即 整理得 满足⑴式使 ∴ ∴数列是首项为，q= 的等比数列 ∴ ∴。 5、当递推公式为（均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式转化为-＝（-）.其中、由解出，由此可得到数列｛-｝是等比数列。 例题：设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．证明：为等比数列； 证明：因为 所以 即 因为 所以 因为 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列。