中考相似三角形经典综合题解析.doc

. 中考相似三角形经典综合题解析 1、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG? (1)解：如图l∵△AOB为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。 ∵BC⊥AB ∴∠ABC=900 ∴∠ACB=300∠OBC=300 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴BC=AC= (2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ ∴ ∴∴ ∵EF∥x轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE (0t3) (3)解：如图2 ∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE1=GA ∴△AE’G为等边三角形 ∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900 即∠QGA=900 ∵EF∥OC ∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA． ∵2BQ—PF=QG ∴∴t=1∴当t=1 时，2BQ—PF=QG 2、（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4）， ∴OA=2，OB=4． ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°， ∴△OAE∽△OBA， ∴=，即=， 解得，OE=1， ∴点E的坐标为（0，1）； （Ⅱ）①如图②，连接EE′． 由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m． 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20． ∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=m． 又BE=OB﹣OE=3， ∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9， ∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27． 当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）． ②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3． 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值． 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴==， ∴AA′=×2=， ∴EE′=AA′=， ∴点E′的坐标是（，1）． 3、（2013?淮安压轴题）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒． （1）当ι=　7　时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．  ： 解：（1）在直角△ABC中，AC==4， 则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：