2008--2009(15)数列(数列综合应用).docVIP

第05讲 数列的综合问题（一） 由数列的递推关系式求通项公式的常用方法 广东高考考试大纲说明的具体要求： 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系与等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 【典型例题分析】 （一）不完全归纳法：先求出数列的前几项，通过分析各项与项数的函数关系，归纳、猜想出 数列的通项公式的方法。若为解答题，需再用数学归纳法给出严格的证明。 例1.（2002全国理）设数列满足， （Ⅰ）当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式； （二）连续代入法：将前面的项的表达式整体代入递推关系式，写出后项的表达式（不要进行计算或化简），从中发现规律，猜想出的“表达式”，然后化简（求和）得通项公式。 例2. (2008四川文) 设数列中，，则通项 _____________ . （三）迭加法：推导等差数列通项公式时使用的一种数学方法。 例3.(2003天津文、全国文)已知数列 （Ⅰ）求 （Ⅱ）证明 小结：形如的形式的，要求｛an｝的通项公式，一般都用迭加法。 （四）构造法：利用待定系数法、换元法等基本的数学方法，将已知递推关系式变形，构造出等差数列或等比数列等特殊的数列，从而求出数列的通项公式。 例4.(2006福建理)已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式； 例5.（据2006江西理改编）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ (1) 求数列｛an｝的通项公式； 小结：几种常见的构造类型 1. 已知a=q a+d （q≠1），可构造等比数列，变为a+=q(a+)的形式，其中。 2. 已知 (),可构成等差数列,变为的形式。 3. 已知 (),可构成等比数列,变为a+=q(a+)的形式。 4. 已知 ,可构成等比数列,变为a+=k (a+)的形式。 [基础训练] 1．中，，则＝（ ） A． B． C． D． ｝中，已知a1=1,，求数列｛｝的通项公式。 4．（2008安徽文）设数列满足其中为实数，且. (Ⅰ)求数列的通项公式; 5.(2008陕西理)已知数列的首项,,.(Ⅰ)求的通项公式; 6．(2008全国Ⅰ卷文)在数列中，，． （Ⅰ）设．证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的前项和． 7．（2007辽宁文）已知数列，满足，，且（） （I）令，求数列的通项公式； （II）求数列的通项公式及前项和公式． 8．（2004全国Ⅲ卷理）已知数列的前项和满足. （1）写出数列的前三项； （2）求数列的通项公式； 9. (2008福建文) 已知是整数组成的数列，，且点在函数的图像上： （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求证： 10.（2007全国Ⅱ理）设数列{an}的首项a1∈ (0,1), an=，n=2,3,4…（1）求{an}的通项公式； 11．(2008天津文)已知数列中，，，且． （Ⅰ）设，证明是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； 12. (2008广东文)设数列满足（n=3,4,…）, 数列满是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k， 都有。 (1)求数列的通项公式；Sn的关系式的应用： 例1.(2006四川文)数列前n项和记为. (Ⅰ)求的的通项公式； 例2．（2004全国Ⅱ卷理）数列的前n项和记为Sn，已知 证明：（Ⅰ）数列是等比数列； （Ⅱ） 【基础训练一】 1、的前项和为，。（1）求的通项公式； 2. (据2008山东文、理改编) 在数列中，．为数列的前项和，且满足． （Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式； 3.（2005北京文）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求 （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； 4．（2007重庆文、理）已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 （1）求{}的通项公式； 5．(2008全国Ⅱ卷理)设数列的前项和为．已知，，． （Ⅰ）设，求数列的通项公式； （Ⅱ）若，，求的取值范围． 二、数列的求和：常用方法有公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法。 例1.（2006安徽文）在等差数列中，，前项和满足条件， （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和。 例2.(2006湖北文)设数列的前n项和为,点均在函数y＝3x－2的图像上. （Ⅰ）求数列的通项公式； (Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m. 【基础训练二】 1.若数列的通项公式是，则它的前n项和Sn=________________. 2.若数列的通项公式是，则它的前n项和Sn=________________. 3.（2003北京理）已知数列是等差数列，且 （Ⅰ）求数列的通项公