高教五版高数(经济类)二重积分随堂讲义.pptVIP

* * 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 * * 三、 二重积分的计算方法 第六章 (Calculation of Double Integral) 一、直角坐标下二重积分的计算 二、极坐标下二重积分的计算 三、小结与思考练习 * * 一、直角坐标下二重积分的计算 曲顶柱体的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 设曲顶柱体的顶为 X型区域 * * 同样, 若曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 Y型区域 * * 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , * * 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 当被积函数 * * * * 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例3 计算 * * 例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 * * 二、在极坐标下二重积分的计算 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 * * 即 则 设 * * 特别地, 对 若 f ≡1 则可求得D 的面积 * * 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) * * * * 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 例7 计算 * * 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 ① 故①式成立 . 注: * * 内容小结 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 * * 则 极坐标系情形: 若积分区域为 * * 课外练习 习题6－5 思考与练习 1. 设 且 求 * * 1. 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 * * 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 2. 计算 * * 提示: 积分域如图 3. 交换积分顺序 * * 解： 原式 4. 给定 的次序. 改变积分 * * 其中D 为由圆 所围成的 及直线 解： 平面闭区域. 5. 计算 * * * (典P365 例1.3) * * * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. * * 高等数学多媒体课件 华南农业大学理学院数学系 牛顿（Newton） 莱布尼兹（Leibniz） * * 一、 二重积分的定义 二、 二重积分的性质 三、 二重积分的计算方法 第五节 二 重 积 分 * * 一、二重积分的定义 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” * * 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 * * 4)“取极限” 令 * * 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 2. 平面薄片的质量 * * 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 * * 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: * * 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 定义 * * 曲顶柱体体积: 平面薄板的质量: 如果 在D上可积,