高中不等式数列综合难题.docVIP

1、已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为. ?? （1）求证：点P的纵坐标是定值; ?? （2）若数列的通项公式为, 求数列的前m项和； ?? （3）设数列满足:，设， 若（2）中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值. 2、?(本小题共13分) 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定 为的k阶差分数列，其中． （Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得 ??????? 对一切正整数N*都成立，求； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值． 3、?(本小题满分14分) 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和． （1）求、和； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 4、（本小题14分） 设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1， （1）求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式； （2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小。 5、已知定义在上的奇函数满足，且对任意有． （Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明． （Ⅱ）令，，求数列的通项公式． （Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值． 6、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”． （I）若，，，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； （II）若数列满足，． (1)求数列前项的和． (2)已知数列是 “M类数列”，求. 7、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 8、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 9、（本小题满分14分）已知函数 （Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数； （Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，试比较与的大小关系． 10、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明： （Ⅰ）当时，； （Ⅱ）当时，。 11、已知数列中，，且 （1）求证：； （2）设，是数列的前项和，求的解析式； （3）求证：不等式对于恒成立。 12、设为正整数，规定：，已知． （1）解不等式：； （2）设集合，对任意，证明：； （3）求的值； （4）若集合，证明：中至少包含有个元素． 13、已知函数满足下列条件： ?????? ①函数的定义域为[0，1]； ?????? ②对于任意； ????? ③对于满足条件的任意两个数 ?? （1）证明：对于任意的； ?? （2）证明：于任意的； ?? （3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由. 15、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为. （1）求的值及的表达式； （2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围； （3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由. 16、函数的定义域为{x| x ≠1}，图象过原点，且． （1）试求函数的单调减区间； （2）已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：； 参考答案 一、综合题 1、解：（1）当时，在上单调递减，又的最小值为， ∴，得t=1 ; 当时，在上单调递增，又的最小值为， ∴，得t=2（舍） ; 当t = 0时，（舍）， ∴t = 1, . ∵ ∴， ∴，即p点的纵坐标为定值。 ?? （2）由(1)可知, , 所以, 即 由, … ①? 得 …② 由①＋②, 得 ∴? ?? （3） ∵, ……③? ∴对任意的. ……④ 由③、④, 得 即. ∴. ∵ ∴数列是单调递增数列. ∴关于n递增. 当, 且时, . ∵ ∴∴即 ∴ ∴m的最大值为6. 2、解：（Ⅰ）由及， 得?? ， ∴ ∴??? ———————————————2分 ∴数列是首项为公差为的等差数列， ∴ ．————————4分 （Ⅱ）∵? ， ∴ ． ∵， ??? ∴ ．————————————9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得? ，? ???