大学物理(上)习题讲解(刚体力学部分).pptVIP

大学物理例题讲解 南昌大学 陈国云 2014年4月5日 * 第五章 刚体力学基础 例题5-1 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。 解:(1)建立坐标系，分割质量元 h J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关 (2)建立坐标系，分割质量元 （3）建立坐标系，分割质量元 例题5-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。 r R dr 解：设圆盘的质量面密度为?，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2?rdr，环的 质量dm= ?2?rdr 。可得 例题5-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为m。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 m1 m2 T2? T1? T1 T2 G2 G1 a a a m1 m2 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为 T2、 T2’(T2’= T2) 因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程 式中?是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即 从以上各式即可解得 而 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M?=0时，有 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。 例题5-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为?，令圆盘最初以角速度?0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr ? d? e 解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=?rd?dre，所受到的阻力矩是r?dmg 。 此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 因m=?e?R2，代入得 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度. 设圆盘经过时间t停止转动，则有 由此求得 例题5-5 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 ?。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能 C O 零点，用?表示棒这时的角速度,则 （1） 第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则 （2） 式中?’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ?’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。 第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为 （3） 由匀减速直线运动的公式得 （4） 亦即 由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得 （5） 亦即l 6?s；当?’取负值，则棒向右摆，其条件为 亦即l 6?s 棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得： 把式（5）代入上式，所求结果为 当?’取正值，则棒向左摆，其条件为 (6) 例题5-6 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kg?m2，B的转动惯量为JB=20kg?m2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？ ?A ? ? A C B A C B *