高教五版高数(经济类)导数概念随堂讲义.pptVIP

* * 2. 利用导数的定义得出以下导数公式： 3. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 4. 导数的几何意义: 切线的斜率; 5. 函数的可导性与连续性的关系： 可导必连续, 但连续不一定可导。 * * 课后练习 习 题 2-1 1；4；5；6; 思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ? 与导函数 区别: 是函数 , 是数值; 联系: 注意: ？ * * 3. 已知 则 存在 , 则 2. 设 4. 设 存在, 求极限 解: 原式 * * , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 5. 设 * * 解: 因为 存在, 且 求 所以 6. 设 * * 在 处连续, 且 存在， 证明: 在 处可导. 证：因为 存在， 则有 又 在 处连续, 所以 即 在 处可导. 故 7. 设 * * 高等数学(经管类)多媒体课件 牛顿（Newton） 莱布尼兹（Leibniz） * * 第一节 导数概念 第二章 三、导数的几何意义 二、导数的定义 一、引 例 五、可导与连续的关系 五、小结与思考题 （The Concept of Derivative） 四、单侧导数 * * 一、变化率问题举例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 * * 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 2. 曲线的切线斜率 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 * * 瞬时速度 切线斜率 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 * * 二、导数的定义（Definition of Derivatives） 1. 函数在一点的导数与导函数. 定义1 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 即 * * 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 若 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: 注意: 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . * * 由此可见， 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 * * 解 由导数定义有 所以 * * * * 三、导数的几何意义（Geometric Interpretation） 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 若 切线与 x 轴平行, 称为驻点; 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: * * 解 法线斜率为 * * 在点 的某个右 邻域内 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 (左) (左) 定义2 设函数 有定义, 存在, 3. 单侧导数. 在点 可导的充分必要条件 注1： 函数 且 是 注2： 若函数 与 在开区间 内可导, 且 都存在 , 则称 在闭区间 上可导. * * 在 x = 0 不可导. 例6 证明函数 证: 因此， 函数 在 x = 0 不可导. 一般地，如果函数的图形在某点出现“尖角”，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导. * * 五、函数的可导性与连续性的关系 定理 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 故 即 所以函数 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. * * 解 (1) 因为 * * (2) 因为 有 又 * * 内容小结 1. 本节通过两个引例抽象出导数的定义：