高教五版高数(经济类)中值定理洛必达法则]随堂讲义.pptVIP

* * 1. 型未定式洛必达法则 存在 (或为 ) 定理 4 (洛必达法则) * * ( ? 在 x , a 之间) 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 存在 (或为 ) 证: * * 定理 1 中 换为 之一, 推论 2 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 推论1 * * 解: 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 例8 求 * * 解: 原式 例9 求 * * 2. 型未定式的洛必达法则 存在 (或为∞) 定理 5. （证明略） (洛必达法则) * * 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. * * 解 解 * * 解 * * 解 而 由于指数函数在其定义域上是连续函数， 故有 解 而 所以 原式= =1 =0 =1 * * 解 而 故有 . * * 例如, 极限不存在 若 说明: * * 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理 * * 3.洛必达法则 令 取对数 内容小结 * * 课后练习 习题3－1 1 2（2）3 5 6 （偶数题）7 思考与练习 1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 上. 方程 * * 其他类型的未定式小结: 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例 求 解: 原式 (补充题) * * 解: 原式 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例 求 (补充题) * * 解: 利用 例5 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例 求 (补充题) * * 解: 注意到 ～ 原式 例 求 （补充题） 说明: 这到题告诉我们， 洛必达法则是求未定式极限 的一种有效方法， 但最好能与其他求极限的方法结合使用， 这样可以使运算简捷. * * 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 费马(1601 – 1665) * * 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 拉格朗日 (1736 – 1813) * * 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 柯西(1789 – 1857) * * 运行时, 点击按钮“例5”, 或“利用例5”, 可看例5的画面. * * 高等数学(经管类)多媒体课件 牛顿（Newton） 莱布尼兹（Leibniz） * * 第三章 微分中值定理与导数的应用 第二节 函数的增减性、曲线的凹凸性与拐点 第三节 函数的极值与最大值、最小值 第一节 中值定理、洛必达法则 第四节 函数图形的描绘 第五节 经济应用Ⅲ(优化分析) * * 3.1 微分中值定理 第三章 一、微分中值定理 三、小结与思考题 （The Mean Value Theorem） 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 二、洛必达(L’Hospital)法则 * * 一、微分中值定理 1. 罗尔（Rolle）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 在( a , b ) 内至少存在一点 * * 若 M = m , 则 因此 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 下面证明 因为 则 * * 注