高等代数考研复习[二次型].pptVIP

正定矩阵的性质： (1)正定矩阵主对角线上的元素全部大于0，正定矩阵的行列式大于零. (2)A正定，则 也正定. (3) 则 也正定. (4)若 正定，且 则 正定. (5)设A为 矩阵，若 那么 是正定的.特别，当A可逆时， 是正定的. 当 那么 是半正定的. 题型分析： (1)二次型正定性的判别 例1 判别二次型的正定性 a) b) 例2 设 当 满足什么条件，f是正定的. 例3 设A,B分别是m,n阶正定矩阵，试判别矩阵 的正定性. 例4 设A为m阶正定矩阵，B为 实矩阵，证明： 正定的充分必要条件为B是列满秩的. 题型 (2)二次型（矩阵）正定性质的应用 主要应用结论：A为实对称矩阵，则存在正交阵 T使得 例1设A,B是n阶实对称矩阵，且A正定，证明：存在一个实可逆矩阵T，使得 同时为对角矩阵. 例2 设A是n阶正定矩阵，证明： 例3 设A,B都是n阶正定矩阵，证明： 例4 设A,B都正定，证明：1)方程 的根都大于零. 2) 方程 的所有根等于1的充分必要条件是A=B. 例6 若B是正定矩阵，A-B半正定，证明： 1) 的所有根都大于等于1. 2) 题型(3) 与对称矩阵特征值范围有关的问题 例1 设A是实对称矩阵，证明：t充分大时，tE+A正定. 例2 证明：实对称矩阵A的特征值均在闭区间 上，则对称矩阵A-tE当tb时负定；当ta 时正定. 例3 设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵B的特征值全大于b，证明：A+B的特征值全大于a+b. 例4 设A是n阶实矩阵， B的特征值为 证明：若 是A的实特征值，则 题型 (4) 综合题 例1 证明：矩阵A是n阶正定矩阵的充分必要条件是存在n阶正定矩阵B使得 例2 设A为n阶实对称矩阵，若A是正定矩阵又是正交矩阵，则A=E. 例3 证明：1)如果A为正定矩阵，那么 是负定二次型. 2) 如果A是正定矩阵，那么 是A 的n-1阶顺序主子式. 3)上式推广为 4)如果 是n阶实可逆矩阵，那么 高等代数考研复习 二次型 2014年 8月 第四章 二次型 二次型理论的背景是解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题. 本章主要问题有两个：1) 二次型矩阵和二次型的标准型 2)正定二次型 二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有紧密的联系，可以看到他们是处理二次型问题的工具. 二次型矩阵与二次型的标准型 1.1 二次型及其矩阵 1)定义：设P是数域,系数在数域P上的关于 的二次齐次多项式 称为数域P上的一个n元二次型. 2)二次型的矩阵表示：令 利用积和式可将二次型化为矩阵形式 其中，矩阵 满足 称它为二次型的矩阵. 积和式为： 它在代数式与矩阵互化中起着重要的作用！ 注意：如果 但是 那么A不是二次型的矩阵.f的矩阵为 1.2 线性替换及矩阵的合同 1)线性替换：设 令 称为由 到 的线性替换. 当 时，称为非退化线性替换；当C是正交矩阵时 称为正交替换. 结论：非退化线性替换将二次型变为二次型. 2) 矩阵的合同：设A、B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C使得 则称矩阵A与合同. 合同是一种等价关系，它具有三性. 合同的性质：合同矩阵有相同的秩； 合同矩阵的行列式同号. 结论：二次型经过非退化线性替换得到的新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. 1.3 二次型的标准型与规范形 1) 二次型标准型定义：只含有平方项的二次型 称为标准型.其中 中非零的个数即为二次型的秩. 定理：数域P上的任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形. 换一种说法：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵. 注意：二次型的标准型一般不唯一！ 2)二次型的规范形：复数域