高教五版高数(经济类)定积分应用随堂讲义.pptVIP

* * 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 2. 平行截面面积为已知的立体的体积 * * 轴旋转一周围成的立体体积时, 特别 , 当考虑连续曲线段 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 * * 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积.（注意：课本例6是“绕 y 轴旋转”） 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 例5 计算由椭圆 * * 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 方法2 利用椭圆参数方程 * * 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , * * 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 这就是课本中给出的解法！ * * 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积.（补充题） 例7 计算由曲面 * * 内容小结 1. 掌握定积分的元素法，并会应用 元素法来解决一些几何和物理方面的问题。 2. 定积分几何学上的应用 （1）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程） （2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体） * * 课外练习 习题5－5 思考练习 1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. * * 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. （94 考研） 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 2. 求曲线 * (94 考研数二) * * 第五节 定积分的应用 第五章 二、体积 一、平面图形的面积 三、思考与练习 * * 一、 平面图形的面积 * * * * * * * * * * 故所求的面积为 * * * * * * 解 如图所示， 因为椭圆图形关于两个坐标轴 都是对称的，所以整个椭圆面 积应为位于第一象限内面积的 4倍.即 * * 二、定积分的元素法 1. 什么问题可以用定积分解决 ? 表示为 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; * * 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值 2. 如何应用定积分解决问题 ? * * 一、平面图形的面积 * * * * * * 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 例3 求椭圆 * * 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 * * * (94 考研数二)