高教五版高数(经济类)广义积分随堂讲义.pptVIP

* * * 例如, L. P178 例13 * * 新课引入 前面讨论的定积分， 都是在有限区间上的有界函数 这类积分属于通常意义下的积分. 的积分， 但在实际问题中， 还会遇到积分区间为无限 或被积 函数在积分区间上是无界的情况， 这就需将定积分的概念推广， 推广后的积分被称为 广义积分. 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 * * 第四节 广义积分 第五章 （Improper Integrals) 二、无界函数的广义积分 一、无限区间上的广义积分 三、思考与练习 * * 一、无限区间上的广义积分 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 * * 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 定义1 设 * * 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的广义积分也称为第一类广义积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 它表明该广义积分发散 . * * 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : * * 解: 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例2 计算广义积分 * * 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 广义积分发散 . 例3 证明第一类 p 积分 * * 二、无界函数（Unbounded Functions）的广义积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 * * 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作 则定义 则称此极限为函 定义2 设 * * 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 间断点, 而不是广义积分. 则本质上是常义积分, 则定义 说明: * * 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 注意: 若瑕点 * * 提示： 例 4 求积分 x=0是瑕点 故x=2是瑕点 * * 证: 当 q = 1 时, 当 q 1 时收敛 ; q≥1 时发散 . 当 q≠1 时 所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 例7 证明广义积分 * * 内容小结 1. 广义积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的广义积分 * * 相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的广义积分. 说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互 * * 课外练习 习题5－4 思考练习 解： * * 2. 试证 , 并求其值 . 解: 令 * 例如, L. P178 例13