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高考数学抽象函数的周期跟对称轴
抽象函数的周期与对称轴
一. 教学内容
抽象函数的周期与对称轴
二. 教学重、难点
重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点:结论的推导证明,利用结论解决问题。
三. 具体内容
1. 若则的周期为T。
2. 若则的周期为
证:令 ∴
3. 则的周期
证:令 ∴ ①
令 ∴ ②
由①②得:
∴ ∴
4. 若则图象的对称轴为
证:要证原结论成立,只需证
令代入
则
5. 若则的图象,以为对称中心。
证:
方法一:要证原结论成立只需证
令代入
则
方法二:设它的图象为C
则P关于点的对称点
∵ ∴ ∴
【典型例题】
[例1] 对于,有下列命题。
(1)在同一坐标系下,函数与的图象关于直线对称。
(2)若且均成立,则为偶函数。
(3)若恒成立,则为周期函数。
(4)若为单调增函数,则(且)也为单调增函数,其中正确的为?
解:(2)(3)
[例2] 若函数有求。
解:
,知的图象关于对称
而的对称中心 ∴
∴ 则
[例3] 设是定义在R上的函数,均有当时,求当时,的解析式。
解:由有得
设则
∴
∴ 时
[例4] 已知是定义在R上的函数且满足,当时有则
(1)是周期函数且周期为2
(2)当时,
(3)其中正确的是?
解:(1)(2)(3)
[例5] 已知满足,,当时,且,若,,求、、的大小关系?
解:由已知得,对称轴 ∴ 也为一条对称轴
∴ ∴ 由 ∴ ∴
∴ ,, ∴
[例6] 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,求的值。
解:
[例7] 设定义在R上,有且当时,
(1)求证:且当时,
(2)求证:在R上递减。
解:
(1)在中,令,得
∵ ∴
设,则令,代入条件式
有而 ∴
(2)设则 ∴
令,则代入条件式得即 ∴ ∴ 在R上递减
【模拟试题】
一. 选择
1. 已知满足,且是奇函数,若则( )
A. B. C. D.
2. 已知是定义在R上的偶函数,且对任何实数均成立,当时,,当时,( )
A. B. C. D.
3. 若函数,都有则等于( )
A. 0 B. 3 C. D. 3或
4. 函数是( )
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
5. 的图象关于y轴对称的充要条件是( )
A. B. C. D.
6. 如果且则可以是( )
A. B. C. D.
7. 为偶函数的充要条件是( )
A. B. C. D.
8. 设是R上的奇函数,当时,,则( )
A. 0.5 B. C. 1.5 D.
9. 设,有那么( )
A. B.
C. D.
10. 定义在R上,则与的图象关于( )
A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称
二. 填空
1. 是R上的奇函数,且,则
。
2. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。
3. 为奇函数,且当时,则当时 。
4. 偶函数的定义域为R,且在上是增函数,则
(1)
(2)
(3)
(4)中正确的是 。
三. 解答题
1. 设是定义在R上的偶函数,图象关于对称,、都有且
(1)求、
(2)证明:是周期函数
2. 如果函数的图象关于和都对称,证明这个函数满足
3. 已知对任意实数t都有,比较与的大小。
4. 定义在实数集上的函数,对一切实数x都有成立,若方程仅有101个不同实根,求所有实根之和。
【试题答案】
一.
1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B
9. A 10. D
二.
1. 0 2. 3. 4.(2)
三.
1.
解:
(1)∵ 都有
∴
∵
∵ ,
∴
(2)由已知关于对称
∴ 即,
又由是偶函数知,
∴ ,将上式中以代换得
∴ 是R上的周期函数,且2是它的一个周期
2.
证:∵ 关于和对称 ∴ ,
∴ 令,则
∴ 即
3.
解:由知抛物线的对称轴是1
∴ 而
根据在上是增函数得即
4.
解:设即
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