高考数学抽象函数的周期跟对称轴.doc

抽象函数的周期与对称轴 一. 教学内容 抽象函数的周期与对称轴 二. 教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。 三. 具体内容 1. 若则的周期为T。 2. 若则的周期为 证：令 ∴ 3. 则的周期 证：令 ∴ ① 令 ∴ ② 由①②得： ∴ ∴ 4. 若则图象的对称轴为 证：要证原结论成立，只需证 令代入 则 5. 若则的图象，以为对称中心。 证： 方法一：要证原结论成立只需证 令代入 则 方法二：设它的图象为C 则P关于点的对称点 ∵ ∴ ∴ 【典型例题】 [例1] 对于，有下列命题。 （1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。 （2）若且均成立，则为偶函数。 （3）若恒成立，则为周期函数。 （4）若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中正确的为？ 解：（2）（3） [例2] 若函数有求。 解： ，知的图象关于对称 而的对称中心 ∴ ∴ 则 [例3] 设是定义在R上的函数，均有当时，求当时，的解析式。 解：由有得 设则 ∴ ∴ 时 [例4] 已知是定义在R上的函数且满足，当时有则 （1）是周期函数且周期为2 （2）当时， （3）其中正确的是？ 解：（1）（2）（3） [例5] 已知满足，，当时，且，若，，求、、的大小关系？ 解：由已知得，对称轴 ∴ 也为一条对称轴 ∴ ∴ 由 ∴ ∴ ∴ ，， ∴ [例6] 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。 解： [例7] 设定义在R上，有且当时， （1）求证：且当时， （2）求证：在R上递减。 解： （1）在中，令，得 ∵ ∴ 设，则令，代入条件式 有而 ∴ （2）设则 ∴ 令，则代入条件式得即 ∴ ∴ 在R上递减 【模拟试题】 一. 选择 1. 已知满足，且是奇函数，若则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，，当时，（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，都有则等于（ ） A. 0 B. 3 C. D. 3或 4. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数 5. 的图象关于y轴对称的充要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如果且则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 为偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设是R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 0.5 B. C. 1.5 D. 9. 设，有那么（ ） A. B. C. D. 10. 定义在R上，则与的图象关于（ ） A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称 二. 填空 1. 是R上的奇函数，且，则 。 2. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。 3. 为奇函数，且当时，则当时 。 4. 偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则 （1） （2） （3） （4）中正确的是 。 三. 解答题 1. 设是定义在R上的偶函数，图象关于对称，、都有且 （1）求、 （2）证明：是周期函数 2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足 3. 已知对任意实数t都有，比较与的大小。 4. 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和。 【试题答案】 一. 1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10. D 二. 1. 0 2. 3. 4.（2） 三. 1. 解： （1）∵ 都有 ∴ ∵ ∵ ， ∴ （2）由已知关于对称 ∴ 即， 又由是偶函数知， ∴ ，将上式中以代换得 ∴ 是R上的周期函数，且2是它的一个周期 2. 证：∵ 关于和对称 ∴ ， ∴ 令，则 ∴ 即 3. 解：由知抛物线的对称轴是1 ∴ 而 根据在上是增函数得即 4. 解：设即