立体几何异我面直线成角求法习题.docVIP

构造异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考． 一、抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标． 例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ） A． B． C． D． 解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF＝＝0， 故∠B1G F＝90°，应选(D)． 评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决． 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－－BB，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 解：取AE中点G, 连结GM、BG ∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED． ∴ GM∥BN，且GM＝BN． ∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG ∵A的射影为B． ∴AB⊥面BCDE． ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， 又∵G为中点，∴BG⊥AE． 即MN⊥AE． ∴MN与AE所成角的大小等于90度． 故填90°． 三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____． 解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填． 点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化． 异面直线练习 选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A）不平行的直线 （B）不相交的直线 （C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线 2．已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为 （ ） （A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的直线 （C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线；② 如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交；③ 如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 5．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ） （A）[30°，90°] （B）[60°，90°] （C）[30°，60°] （D）[60°，120°] 6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ） （A）90°（B）45°（C）60°（D）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的 中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ） （A）（B）（C）（D） 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成角；④DM与BN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ 9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是