第一讲相似三角形的判定及性质讲义.docVIP

几何证明选讲—第一讲相似三角形的判定及性质 题型一 平行线分线段成比例问题 例1、已知：E是△ABC的边AC的中点，D是AB边上任意一点，DE与BC的延长线交于点F 求证： 证法介绍：（1）过A作平行线 （2）B作平行线 （3）过C作平行线： CG=AD AD=GD （4）过E作平行线 == 因此，选择最佳的求解方法，依赖于对知识的理解，对基本图形的识别和对解题规律的总结和归纳。 变式1：已知：E是△ABC的边AC的中点，D是AB边上一点，且BD=3AD，DE与BC的延长线交于点F 求证：BC=2CFA A D F B E C 变式2：如图，已知直线l截△ABC的三边所在直线分别于E、F、D三点且AD=BE， 求证：EF：FD=CA：CB SHAPE \* MERGEFORMAT 练习1、如图,已知AB∥EF∥CD, 若AB=6 cm,CD=9 cm,则EF= . 点评：由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论： A A E H C B G D 练习2、如图，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC，求证EG∥BH 练习3、如图甲，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若△AEF的面积为a cm2，则△CDF的面积等于 cm2 练习4、如图乙，在△ABC中，DE∥BC, EF∥CD，且AB=2,AD= ,则AF= 题型二、如何证明三角形相似 例2、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 分析：（1）关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。（2）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 ADEBC变式3：点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC= A D E B C ∠DAE，（1）求证：BE·AD=CD·AE （2）根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比，并证明你的猜想 总结：如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： (1)如图：称为“平行线型”的相似三角形 (2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。 (3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 例4：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。 求证：（1）MA2=MDME；（2） 评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。本例第（1）小题证明MA2=MDME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去寻觅与确定需证相似的三角形。 （2）本例的关键是证明△MAE∽△MDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解： 命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ADC∽△ACB，AC2=ADAB。 命题2 如图，如果AC2=ADAB，那么△ADC∽△ACB，∠1=∠2。 例5：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。 评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。 （2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。