线性代数矩阵相似对角化.pptVIP

* 第五章 相似矩阵 §5.2 矩阵的相似对角化 §5.2 矩阵的相似对角化 一、相似矩阵的基本概念与性质 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 三、矩阵相似对角化的方法步骤 四、矩阵相似对角化的应用 一、相似矩阵的基本概念与性质 1. 相似矩阵的概念 定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ， 则称 A 与 B 相似， 称对 A 所进行的运算 为对 A 进行相似变换。 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。 记为 若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得 或者称 A 相似于 B， 注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。 P144 定义 5.2 一、相似矩阵的基本概念与性质 1. 相似矩阵的概念 2. 相似矩阵的性质 (1) 反身性 性质 (2) 对称性 若 则 (3) 传递性 若 则 (4) 若 则 (5) 若 则 P144 定理 5.5 P144 定理 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式, 证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得 即 A 与 B 有相同的特征多项式。 从而 A 与 B 有相同的特征值。 故 一、相似矩阵的基本概念与性质 1. 相似矩阵的概念 2. 相似矩阵的性质 P144 定理5.5 (3) 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 定义 对于 n 阶矩阵 A， 则称 A 可相似对角化 ； 若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得 记为 ▲ P145 定义 5.3 若存在可逆矩阵 P 使 则 则 特别地， 若 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 好处 (之一) 例 证明矩阵 不能相似对角化。 证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得 即得 故它们有相同的特征值， 由矩阵 A 与 L 相似， 矛盾！ 故矩阵 A 不能相似对角化。 1. 问题分析 (1) L 如何构成？ L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。 由于 是 L 的 n 个特征值， 而 A 与 L 相似， 因此 就是 A 的 n 个特征值 . 记为 所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得 即 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 1. 问题分析 (2) P 如何构成？ P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。 设 即 则由 有 于是有 又因为 P 可逆， 且 线性无关， 故 因此 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 . 即 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 A 有 n 个线性无关的特征向量， 推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 相似对角化。 定理 n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 的充分必要条件是 1. 问题分析 2. 矩阵可相似对角化的条件 即 A 每个特征值所对 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征 值的重数。 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 P145 定理 5.6 P146 推论2 P145 推论1 三、矩阵相似对角化的方法步骤 步骤 (1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 其重数分别为 (2) 对每一个特征值 求矩阵 A 特征向量， 并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 (3) 若 则 A 不能相似对角化； (4) 若 从而有 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 其中 个 个 个 三、矩阵相似对角化的方法步骤 步骤 (4) 若 从而有 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 三、矩阵相似对角化的方法步骤 (2) 因 是 的基础解系中的解向量， 故 的 因此 P 也不是唯一的。 (3) 由于 的根只有 n 个(重根按重数计算)， 所以 则 是唯一的。 如果不计特征值的排列顺序， 几点说明 (1) P 中的列向量(即特征向量) 的排列顺序要与 特征值的顺序一致。 取法不是唯一的。 例 试将矩阵 相似对角化。 解 令 (三重根) 得 A 的特征值为 由 得 A 的特征向量为 显然，最多能找到