第十单元第二节 空间几何体的表面积与体积.pptVIP

第二节 空间几何体的表面积与体积 基础梳理 1. 直棱柱、正棱锥、正棱台的概念、侧面展开图及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的 . 平面展开图 名称 概念 展开图举例及说明 侧面积公式 直棱柱与正棱柱 侧棱和底面垂直棱 柱叫做 底面是正多边形的 叫做正棱柱 棱柱的侧面展开图是矩形 S直棱柱侧= 正棱锥 底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥叫做 正棱锥的侧面展开 图是一些全等的等 腰三角形 S正棱锥侧 = 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做 正n棱台的侧面展 开图是n个全等的 等腰 S正棱台侧 = 直棱柱 直棱柱 ch 正棱锥 正棱台 2. 旋转体的表面积公式 (1)圆柱的表面积S= (其中r为底面半径,l为母线长). (2)圆锥的表面积S= (其中r为底面半径,l为母线长). (3)圆台的表面积公式S= (其中r′,r为上、下底面半径,l为母线长). (4)球的表面积公式S= (其中R为球半径). 3. 几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式V= (其中S为底面面积,h为高). (2)锥体的体积公式V= (其中S为底面面积,h为高). (3)台体的体积公式V= (其中S′,S为上、下底面面积,h为高). (4)球的体积公式V= (其中R为球半径). 2πr(r+l) πr(r+l) π[(r+r′)l+(r2+r′2)] 4πR2 Sh 典例分析 【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 题型一 几何体的表面积问题 分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件，列出方程，求解所需的几何元素. 解 如图所示,正三棱台ABC-A1B1C1中,O、O1分别为两底面中心,D、D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高. 设A1B1=20,AB=30,则可得 OD= ,O1D1= . 由S侧=S上+S下,得 (20+30)×3×DD1= (202+302), ∴DD1= . 在直角梯形O1ODD1中,O1O= , ∴棱台的高为 cm. 学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素. 举一反三 1. 圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和. 解析： 如图,延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,则∠ASO=30°. 在Rt△SA′O′中, ,∴SA′=2r. 在Rt△SAO中, ,∴SA=4r. ∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a. ∴ ∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为 【例2】 直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为Q1、Q2,求它的侧面积. 分析 要求此棱柱的侧面积,只要求出它的底面边长与高即可. 解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则S侧=4al.因过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形,从而 Q1=AC·l, Q2=BD·l, 则 又∵AC⊥BD,∴ , ∴ 即4a2l2=Q12+Q22,即2al= , ∴S侧=4al= . 学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少运算量，简化运算过程. 举一反三 2. 三棱柱 的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面△ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2α角,求三棱柱的侧面积. 解析： 如图所示,作OD⊥AB于D,则AD=Rcos α,AB=2Rcos α, ⊥AB,∴ ∴ ∵AO⊥BC,由三垂线定理得 ⊥BC, 故 ⊥BC.