直线与平面垂直的判定和性质教案.docxVIP

PAGE1 / NUMPAGES14 直线与平面垂直的判定和性质 【课前复习】 温故——会做了，学习新课才会有保障 1．直线和平面的位置关系有_______、_______、_______． 2．直线和平面平行的判定方法有_______、_______．3．两异面直线的距离是指_______． 答案：1．平行　相交　直线在平面内 2．定义　判定定理 3．两异面直线的公垂线段的长度 知新——先看书，再来做一做 1．如果一条直线l和一个平面α_______，则直线l和平面α互相垂直． 2．若a⊥α，_______，则_______． 3．直线和平面垂直的判定定理：_____．直线和平面垂直的性质定理：____．4．三垂线定理___________． 【学习目标】 1．能准确叙述直线和平面垂直的定义，并能画图予以表示． 2．掌握直线和平面垂直的判定定理，并能用图形和符号语言予以表示，会用判定定理解决有关问题． 3．掌握直线和平面垂直的性质定理，理解并掌握性质定理的证明方法． 4．正确理解点到平面的距离，直线到平面的距离． 5．正确区分垂线段、斜线段、斜线的概念，明确点在平面内的射影、斜线及斜线段在平面内的射影的概念． 6．掌握并会作直线与平面所成的角，并能进行正确计算． 7．正确理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容和证明过程，并能用它来解决实际问题． 8．培养观察、猜想及论证能力，提高空间想象能力． 【基础知识精讲】课文全解 1．直线与平面垂直的定义 我们已有两条直线垂直的概念，因此可以用直线和直线垂直的概念来定义直线和平面垂直的概念：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，我们就称这条直线和这个平面垂直．显然，和平面垂直的直线是直线和平面相交位置关系中的一种特殊形式． 注意定义中的“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义语．定义的实质是用这条直线和平面内所有直线垂直，这样就用无数的线段垂直关系规定了直线和平面垂直的意义． 虽然这样的定义给判定线面垂直带来困难，但在直线和平面垂直时，恰可以得到直线和平面内的任何一条直线垂直，给判定两直线垂直带来方便，即a⊥α，bα，则a⊥b．简述之，“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直的一个重要方法． 2．直线和平面垂直的判定 图9-4-1 要根据直线和平面垂直的定义来直接判定直线和平面垂直是难以做到的．日常生活中，木工检查一根木棒是否和板面垂直，只用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次（如图9-4-1），如果在两次检查中，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便断定木棒和板面垂直．其依据是：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． 这是直线和平面垂直的判定定理，简称为“线线垂直，则线面垂直”． 从定义到判定定理，使判定线面垂直的方法简化了，即从“垂直于平面内的任何一条直线”简化为“垂直于平面内两条相交直线”．所以，我们在证明线面垂直时，主要是设法在平面内找到这样的“两条相交直线”． 3．直线和平面垂直的性质 如果a⊥α，b⊥α，则a∥b． 这就是直线与平面垂直的性质定理．它的证明由于无法把两条直线a、b归入一个平面内，所以平面几何知识中证明直线平行的定理无法使用，三线平行公理也无法使用；线面平行的性质定理也没有条件直接使用．在这种情况下，课本中采用了反证法．关于这个性质定理，还可以这样来证明： ∵b⊥α，设b∩α＝O．经过O点引b′∥a，则b′⊥α，因为经过O点的平面α的垂线只有一条， ∴b′与b重合，因此b∥a． 4．点到平面的距离及线到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，点到垂足之间的距离叫做点到平面的距离． 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离． 由线到面的距离及点到面的距离的定义不难发现，求直线到平面的距离，实质上转化为求两平行直线间的距离或者点到平面的距离，再进一步转化为点到点的距离．这在以后求有关几何体的体积时经常用到．在立体几何中，求距离往往转化为平面几何的问题，即通过解三角形来完成．这种转化的依据就是平面的基本性质．读者一定要掌握这些理论根据及重要的思想方法和解题思路． 5．点、线段、斜线段在平面α上的射影 图9-4-2 如图9-4-2，（1）自点A向平面α引垂线，垂足A1叫做点A在平面α上的射影．当点A∈α时，点A在α上的射影是它自身． （2）把和平面α相交且不和α垂直的直线叫做平面α的斜线，斜线和平面α的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段． 过斜线上的一点A向平面α引垂线，经过垂足A1和斜足B的直线叫做斜线a在平面α上的射影；垂足A1和斜足B之间的线段A1B叫做点A到平面α的斜线段AB在平面α上的射影． 不难证明：斜线上任一点在平面上