大学高等数学(文科)复习重点.docx

PAGE PAGE 1 第一章 预备知识 定义域 已知 的定义域为 ，求 的定义域。答案： 求 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。 答案： 判断两个函数是否相同？ ， 是否表示同一函数？答案：否 下列各题中， 和 是否相同？答案：都不相同 奇偶性 判断 的奇偶性。答案：奇函数 有界性 ，使 ，则 在 上有界。 有界函数既有上界，又有下界。 在 内是否有界？答案：无界 是否有界？答案：有界，因为 周期性 下列哪个不是周期函数（C）。 A． B． C． D． 注意： 是周期函数，但它没有最小正周期。 复合函数 已知 ，求 例：已知 ，求 解1： 解2： 令 ， ， ， 设 ，求 提示： 设 ，求 提示：先求出 设 ，求 提示： 函数图形 熟记 的函数图形。 第二章 极限与连续 重要概念 收敛数列必有界。 有界数列不一定收敛。 无界数列必发散。 单调有界数列极限一定存在。 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。 无穷小的比较 时，下列哪个与 是等价无穷小（A）。 A． B． C． D． 求极限 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。 ， ， ， ， 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式 例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。 出现根号，首先想到有理化 补充练习： （1） （2） （3） （4） （5） 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限 例： 作业：P49 7 （1）~（3） 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限 例： 作业：P49 7 （4）~（6） 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必达法则 作业：P99 5 （1）~（8） 分子或分母出现变上限函数 提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数 例： 补充练习： （1） （2） （3） （4） 连续与间断 任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。 分段函数可能的间断点是区间的分界点。 若 ，则 在 处连续，否则间断。 第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。 第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。 设在 处连续，求 解： 在 处连续， 作业：P49 4、10 P50 11、12 补充练习： （1）研究函数的连续性： ， （2）确定常数 ，使下列函数连续： ， ， （3）求下列函数的间断点并确定其所属类型： 闭区间上连续函数的性质 零点定理： 在 上连续，且 ，则在 内至少存在一点 ，使得 补充练习： （1）证明方程 至少有一个不超过3的正实根。 （2）证明方程 在 内至少有一个实根。 （3）证明方程 在 内至少有一个实根。 （4）证明方程 至少有一个小于1的正根。 第三章 导数与微分 重要概念 可导必连续，但连续不一定可导。 可导必可微，可微必可导。 函数在 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。 导数的定义 作业：P75 2 对于分段函数，讨论分界点是否可导？ 例： 在 处，连续但不可导 作业：P75 4、5 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数 答案：在 处连续、不可导 答案：在 处连续、不可导 答案：在 处不连续、不可导 设 ，为使 在 处连续且可导， 应取什么值？ 答案： 求导数 求函数的导数，特别是复合函数的导数 作业：P75 6、10 利用对数求导法求导数 作业：P76 13 求隐函数的导数 作业：P76 12 求由参数方程所确定的函数的导数 作业：P76 14 求高阶导数 作业：P75 11 求切线方程、法线方程 利用导数求出切线的斜率 ，则法线的斜率为 例：求曲线 在 处的切线方程。 解： 切线斜率 ，切线经过点 切线方程： 作业：P75 3 求变上限函数的导数 作业：P156 4 求微分 ， ，求 解： 作业：P76 15 利用微分进行近似计算 公式： 作业：P76 16 第四章 中值定理与导数的应用 利用拉格朗日中值定理证明不等式 定理：设 在 上连续，在 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得 证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数 （2）叙述函数 满足定理条件 （3）根据定理证明出不等式。 作业：P99 4 补充练习：证明下列不等式： （1）当 时， （2） （3）当 时， 单调性与极值 单调性：（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论 在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间 作业：P99 6 极值：（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论 在各子区间