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高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）
（命题者的首选资料）
1. 已知函数,数列满足,
; 数列满足, .求证:
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）若则当n≥2时,.
解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0x1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0.
故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.————4分
又由, 得,从而.
综上可知————6分
(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0x1,
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