解析几何讲稿(2006)..doc

PAGE PAGE 54 解析几何 矢量与坐标 在中学数学的学习中我们已经知道，解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的.最根本的方法就是设法把空间的几何结构有系统的数量化、代数化（即在平面上通过坐标系的引进，建立起平面上点与实数对，曲线与方程的对应关系，即以一对有序实数表示点，以方程表示曲线）.从而将研究问题的代数方法引入到集合中来. 在这里我们首先在空间中引进矢量以及它的运算，并通过矢量来建立坐标系.这是本章的主要课题，它也是解析几何的基础.利用矢量，有时可使某些集合问题更简捷地得到解决.矢量在力学、物理学和工程技术中也是解决问题的有力工具. §1.1 矢量的概念 数量：只有大小的量.如长度、面积、体积、时间、质量、温度等. 而位移、力、速度、加速度、功、力矩等，这些量除了有大小，而且还有方向，这种量就是矢量. 定义1.1.1（p. 由矢量的定义，对于向量我们只考虑它的大小及方向，因此就可以用有向线段（有方向的线段）来表示矢量.有向线段的始点和终点分别叫做矢量的始点和终点，其长度表示矢量的大小，其方向表示矢量的方向. 始点为A，终点为B的矢量记做：.有时也用来表示，为了方便，印刷时常用黑体a，b，c，…来表示矢量. 模：矢量的大小称为矢量的模，也称矢量的长度.矢量和的模分别记作：和.显然，矢量的模是一个非负实数. 单位矢量：模等于1的矢量称为单位矢量；与矢量具有同一方向的单位矢量称为矢量的单位矢量，记为： . 零矢量：模等于0的矢量称为零矢量，记作：.零矢量是始点与终点重合的矢量，其方向不确定，也即零矢量的方向可看作是任意的.（非零矢量）. 矢量与互相平行：是指它们所在的直线互相平行（或重合），记作：.类似可定义矢量与一条直线或一个平面平行. 同向与反向：将两个互相平行的矢量与中的一个矢量平行移动，使其始点与矢量的始点O重合，这时两矢量的终点A和B必与O点三点共线.如果终点A和B分布在始点O的同一侧，则称与同向；如果终点A和B分布在始点O的两侧，则称与反向. 定义1.1.2（P.2）：如果两个矢量的模相等且方向相同，则称两个矢量相等.矢量与相等，记作：. 结论：对于不在同一直线上的两个相等的非零矢量与，如果用两线段分别的一对始点，一对终点，则得到一个平行四边形；反过来，如果对两矢量采用上述作图法得到一个平行四边形，则这两个矢量相等.（P.2） 另外，由定义可知：两矢量是否相等与它们的起点无关，只由它们的模和方向决定. 自由矢量：与起点无关，而只由模和方向决定的矢量称为自由矢量，在自由矢量的意义下，相等的两矢量都看作是同一矢量.我们以后研究的是自由矢量. 注意：矢量不仅有大小，而且还有方向.模相等的两非零矢量未必相等，因为它们的方向可能不同，如下图：，但. 对于自由矢量的始点的任意性，按需要我们可以将一些矢量平移到同一始点，称为把这些矢量归结到共同始点. 定义1.1.3（P.3）：模相等，方向相反的两个矢量叫做互为反矢量.矢量 由定义知：与互为反矢量；即：，. 显然，. 结论：如果把彼此平行的一组矢量归结到共同的始点，这组矢量必共线；如果把平行于同一平面的一组矢量归结到公共的始点，这组矢量必共线. 定义1.1.4（P. 定义1.1.5（P. 结论：一组共线矢量组一定是共面矢量组；三矢量中如果有两矢量共线，则三矢量必定共面. 练习：P.3 Ex.1 Ex.2 Ex.4 Ex.5 作业：P.3 Ex.3 §1.2 矢量的加法 我们知道，力和位移都是矢量，在物理学中，求作用于同一点的两个不共线的力的合力是用“平行四边形法则”.如图：两个力，的合力是以，为邻边的平行四边形的对角线. 又如位移：一质点从O点出发到达A点的位移为再从A点到B点作位移，那么其两次位移，的结果，相当于作位移，即两个位移的合成可用“三角形”法则求出.如图所示. 如果不考虑矢量的具体含义，只研究几何学中的自由矢量，那么非共线的两矢量合成的平行四边形法则与三角形法则是一致的.即在自由矢量的意义下，平行四边形法则可以归结为三角形法则. 定义1.2. 由定义1.2.1有：.这种求矢量的方法称为三角形法则 由此可得下面定理： 定理1.2.1 如果把两个矢量，为邻边作一平行四边形OABC.那么对角线矢量.这种求矢量的方法称为称为平行四边形法则 特别地：；. 定理1.2. 交换律： 结合律： 证：1）设已知矢量与不共线，作及，在以，为邻边的平行四边形OABC 中（如图），因为 ，.一方面，另一方面，. 如果与共线，分、同向或反向两情形，证与的方向和模相同即可. 2）作，，（如图），由矢量加法定义有： . 由矢量的加法定义及零矢量的定义可知成立. 由矢量的加法满足交换律及结合律，三个矢量、与相加，不论它们的先后顺序及结合顺序如何，