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③作梯形。例如，如图4的梯形。 ④作组合图形。例如，如图5。 ⑤作正方形。由于在教学中没有a=10的a，有不少学生想不能制作正方形。但是，提出“究竟能否制作正方形呢？”这个问题的时候，可以去考虑如图6的正方形。即使是不求面积，从图形性质出发，可以制作相等面积的图形。 ⑥把最初的四边形看做长 方形、三角形和被分成两 个三角形来考虑。从如果 两个三角形的底边和高分 别相等的话面积相等出发， 如图7，可以作各种多边形。 ⑦利用面积公式，建立新的表达式后，将改变该表达式中的数值，建立新的表达式，考虑作符合该表达式的图形。四边形ABCD为梯形，因此用下面的表达式求出它的面积：（3+2）×4÷2=10改变其中的数值后得到以下表达式。a.(2+3)×4÷2=10b.(1+4)×4÷2=10c.(0+5)×4÷2=10把b和c用图形表示后得到如图8的结果。 关于学生反应的考察 首先，根据面积为10的条件来考察作多边形的情形。 学生对①的作长方形的反应最多。但是，作在倾斜位置上作长方形的学生较 少。6×6格子点的板子上，只能作一种图形。但是增加格子点的话，也可以作 别的倾斜的长方形。 ②的平行四边形被容易发现。面积为10的平行四边形就是底边为5高为2或者底 边为2高为5的平行四边形。但是，在6×6的格子点中只限于图形中的那个平行 四边形。当格子点为7的时候可以作两个平行四边形。 ③的梯形中的作图有两种情形，即考虑梯形面积公式作图和数方格数作图。根据 公式来作图时，不改变高，上底和下底之和为5的情形和高为5而上下底之和为4 的情形。 ④的组合图形中，数方格的数来作图。例如，首先作面积为10的十字形的图形。 学生将这个图形进行改变来作各种各样图形。专注于增减部分图形来开展作各种 形状的活动。 ⑤的正方形的构造者很少。但是，介绍之后，能够启发学生的转换思维。 其次，不求面积来考虑作相等面积的多边形的情形。 ⑥的情形，无论是哪个反应例，都是从给定图形的一部分的三角形出发。由于等底等高的三角形的面积相等，因此一般与底边平行的直线上取顶点来构造多边形。 在所构造的图形中，也有凹形的五边形和六边形，由于顶点的位置的不同而能够制作三角形，这为让人惊奇。 ⑦的情形，从求面积的表达式出发，也许提出“改变这个表达式的一部分，不考虑符合这个表达式的图形是不可以吧？”的质问。由于这个质问的提出，能够培养学生整体上思考面积公式的能力。 谢 谢！ 日本小学数学问题解决教学代 钦 哲学博士?教授内蒙古师范大学 问题解决指的是从一件事，但完成该任务的方法事先 并不清楚。为了找到解答方法，学生必学利用他们的知识。 在此过程中，通常他们会对数学有新的理解。问题解决不 仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式。 通过学习如何解决数学问题，学生应该学会思考方法、 养成坚持不懈和好奇的习惯，使他们有信心面对在数学课 堂外遇到的不熟悉的情境。成为好的问题解决者，无论在 日常生活还是工作场合都大有益处。 1.问题是数学的心脏。 ——哈尔莫斯(Halmos) 2.我渴望力量，上帝却给困难，让我强壮。我渴望智慧， 上帝却给问题，让我解决。我渴望财富，上帝却给了体力 和头脑，让我工作。我渴望勇气，上帝却给了危险，让我 克服。我渴望忍耐，上帝却改变环境，让我被迫等待。我 渴望爱，上帝却给了一个碰到麻烦的人，让我去帮助。我 没有得到任何想要的东西，但是我却得到了一切需要的东 西。 ——《我想要什么》（《环球时报》2009.08.06） 3.数学是锻炼思维的体操。 4.数学能够锻炼人的心智。 ——约翰·洛克（John Locke） 5.一言以蔽之，曰（数学）有锻炼脑髓之效，宛 如筋骨运动之于体育也。第一，与以阶梯预备之 数学知识。第二，养成数学思想即精神的锻炼。 以第一目的，则数学知识，当深浸润学者之脑髓。 其重要之部分，维经年月，尚存在其人之记忆， 为必要也。以第二为目的之时，则反之。学者将 来忘数学可也，其人尚不失为有数学思想之人。 此宛如修体操科者后年虽忘体操术，尚强健。 ——藤泽利喜太郎 二、国外数学问题解决教学研究的历史 1．苏格拉底的“产婆术”与数学问题解决 问题解决教学方法源于问题教学法。早在两千多年前， 古希腊大哲学家、教育家苏格拉底成功地运用提问技巧引 导学生学习，后来还有很多教育家研究了问题解决教学。 苏格拉底所创造的问题教学法亦称“产婆术”教学法， 其教学步骤是：教师首先向学生提出问题，让学生回答， 即使学生回答错了，也不立即纠正，而是根据不正确的答 案，补充新问题，使学生的回