《幻方的探讨及其初步应用》-毕业学术论文（设计）.doc

幻方的探讨及其初步应用 PAGE PAGE 24 第一章 介绍幻方的基本知识 1.1 幻方的定义 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.这个相等的数称幻方常数或定数.幻方的每条边有几格,就叫做几阶幻方.阶幻方常数,记作.不难算出.例如将图1填成图2后,就成为一个4阶幻方.它的每一行,每一列以及每条对角线上个各数的和都等于常数. 1 14 15 4 8 11 10 5 12 7 6 9 13 2 3 16 图1 图2 1.2幻方的历史 幻方的历史很悠久.幻方又称纵横图, HYPERLINK /view/97444.htm \t _blank 九宫图,最早记录于我国古代的洛书. 在古代,人们没有认识到幻方是利用整数的某些特性构成的,而把它看成神秘的东西.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期, HYPERLINK /view/46285.htm \t _blank 伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了 HYPERLINK /view/4881.htm \t _blank 八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑,白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此之外,还有4阶,5阶... 　　后来,人们经过研究,得出计算任意 HYPERLINK /view/3028897.htm \t _blank 阶数幻方的各行,各列,各条对角线上所有数的和的公式为 　　 , 其中为幻方的阶数,所求的数为. 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《 HYPERLINK /view/345230.htm \t _blank 大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方. 　　我国也是最早发现幻方的国家之一.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在欧洲直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方. 　　而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔. 幻方又叫魔方,日本人称为方阵,我国称为纵横图或方宫图等.几千年来,人们没有中断过对幻方的研究.整数的这种变幻迷离的玄妙性质,自古以来吸引着无数的数学爱好者.人们不仅造出了各种幻方,还找出了其中的某些规律.到了本世纪60年代,有人应用数论的方法,证明了任何阶幻方的可构造性.随着科学的发展以及电子计算机的问世,幻方这个颇似数学游戏的古典题目日也受到重视.现在已经有人编出任意高次的偶阶幻方的计算程序,并编入“CACM程序汇编”.目前,幻方正在组合数学,图论,博奕论以及程序设计.人工智能等等方面得到应用. 1.3幻方的性质 一．幻方的变换性质 我们在学关于幻方的知识时,对幻方数间的关系,幻方的构造之谜等问题表现出了极大的兴趣.并提出：三阶幻方除了“每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15”这一性质外,还有其它的性质吗？ 将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图方阵(幻方)中的9个空格中,使得横,竖,斜对角的3个数之和为0. 1 2 3 4 1 2 4 5 6 7 5 3 7 8 9 8 9 6 (1) (2) (3) 6 1 8 1 -4 3 7