高三数列知识点与题型总结(文科).docVIP

数列考点总结 第一部分 求数列的通项公式 一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书） 二、求数列的通项公式 四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。 等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 一、累加法 1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 若， 则 两边分别相加得 已知数列满足，求数列的通项公式。 已知数列满足，求数列的通项公式。 练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. = 1 \* GB3 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; = 2 \* GB3 ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; = 3 \* GB3 ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; = 4 \* GB3 ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式. 练习3 已知数列满足，求数列的通项公式。 二、累乘法 1、适用于： 累乘法是最基本的二个方法之二。 若，则 两边分别相乘得， 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。 例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 待定系数法：设, 得,与题设比较系数得 ,所以所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即：. 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例6、已知数列中，，求数列的通项公式。 2．形如： (其中q是常数，且n0,1) = 1 \* GB3 ①若p=1时，即：，累加即可. = 2 \* GB3 ②若时，即：， 求通项方法有以下三种方向： = 1 \* roman i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令，则,然后类型1，累加求通项. = 2 \* roman ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： , 令,则可化为.然后转化为类型5来解， = 3 \* roman iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。 例7、已知数列满足，求数列的通项公式。 练习3.（2009陕西卷文） 已知数列满足， . 令，证明：是等比数列； (Ⅱ)求的通项公式。 答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。 总结：四种基本数列 1．形如型 等差数列的广义形式，见累加法。 2.形如型 等比数列的广义形式，见累乘法。 3.形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项. 4.形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例8. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式. 例9. 已知数列,求此数列的通项公式. 第二部分 数列求和 一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或