高中数学平面几何对称问题(实用)资料.ppt

* 一.中心对称(关于点的对称) (一）点关于点的对称 练习: (1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点. (2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标. (二）直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程 例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程. 直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等. 二.轴对称(即关于直线的对称) 例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标. 解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即; =-1 ① 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 在直线l上,故有 2 - -5=0 ② (一)点关于直线的对称: 联立①② 解得m=9 n= -7 ∴B(9,-7) （法二）∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1） ∴直线AB的方程为y-1=- （x+7） 即x+2y+5=0 由 解得 即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1） 由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）. 小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法: 由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标 (2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标. (1)（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组: 一般地： 点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0） 点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0） 点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b） 注：当对称轴的斜率为±1用上述方法直接求出对称点的坐标。 （二）直线关于直线的对称 例3.求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程. x y o m n l 在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关 于直线l的对称点A1 落 在直线n 上,然后解出直线l和m的交点,再求出直线n的方程. 一般地：求直线关于直线对称的直线方程可以转化为求点关于直线的对称点来解决。 设直线方程为f（x，y）=0则： 直线f（x，y）=0关于直线y=x对称的直线方程为f（y，x）=0 直线f（x，y）=0关于直线y=-x对称的直线方程为f（-y，-x）=0 直线f（x，y）=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0 直线f（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的直线方程 为f（b-y，-x+b）=0 特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以上结论直接代入； 练习题： (1)点M (-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为____关于直线y=2x的对称点为_ _ 关于点(9,0)的对称点为 (2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为________关于直线y=-x的对称直线为________ (3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为___________关于y轴的对称直线方程为_______________关于原点的对称直线方程为 _______________ (4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为_____________若光线射到直线y=2x上呢? 三.对称问题的应用： （一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题 1.若A，B两点在直线的同侧： （1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小； （2）直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。 2.若A,B两点在直线的异侧: (1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小; (2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大. * *