高中物理竞赛亚赛例题aph资料.ppt

秋千问题. 一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。图示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千枢轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处在下蹲姿势时，秋千枢轴到男孩质心的距离为rd。设比值rd/ru=21/10=1.072。 为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B，E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够地快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程(从C到D，从G到H)也被假定是瞬间过程。 角动量守恒， 由B摆到最高点C机械能守恒， 由D摆到E的过程也满足机械能守恒，即 滑动摩擦下的谐振子 力学里，经常用到所谓的相空间，即由体系所有粒子的坐标和动量（或者速度）构成的虚拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。 当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解为显函数形式（explicit form）。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。 本题中，我们建议利用相空间来分析一个自由度的力学系统，即一个坐标描述的系统。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映动量和坐标的依赖关系。 作为一个例子，图1给出了一个沿x轴正方向运动的自由粒子的相轨迹。 问题A 相图（3.0分） A1 [0.5分]画出自由质点相轨迹，该质点在两个互相平行位于x = - L/2和x = L/2的全反射墙壁之间运动。 A2 研究谐振子的相轨迹，也就是质量为m受胡克力（F = - k x）作用的质点的相轨迹。 [0.5分]写出相轨迹的方程和相应的参数 [0.5分]画出谐振子的相轨迹。 A3 [1.5分]考虑一个长度为L质量不计的刚性棒，一端固定，另一端有质量为m的质点（重力加速度为g）。用棒与铅垂线之间夹角a作为描述系统的坐标。相平面是由()描绘的坐标平面，研究并画出在任意角度a下该摆的相图。设K为该系统不同性质的相轨迹种类的数目，求K的值。对每种相轨迹至少画出一条典型的相轨迹。给出描述的每一种相轨迹的参数的取值范围。（不要将平衡点当作相轨迹）。忽略空气阻力。 B. 滑动摩擦下的振子(7.0分) 考虑运动的阻力，我们通常处理两种类型的摩擦力。第一类是与速度有关的摩擦力（粘滞摩擦），可用来表达，例如固体在气体或液体中的运动。第二类是跟速度无关的摩擦力，其大小可用F=mN来表达，力的方向和接触物体间的相对速度的方向相反（滑动摩擦），如一个固体在另一个固体表面的运动。 作为第二种摩擦力的一个特例，考虑水平表面上和弹簧一端相连的物体，弹簧的另一端固定。该物体的质量是m，弹簧的弹性系数是k，物体和表面之间的摩擦系数是m。假定物体沿x轴作直线运动（取x=0为弹簧未伸缩的位置）。假定动摩擦系数和静摩擦系数是相同的，初始时刻物体位于x=A0（A00）的位置，速度为零。 B1. [1.0分]写出在滑动摩擦力下,简谐振子的运动方程。 B2. [2.0分]画出这一振子的相轨迹，确定振子的平衡位置。 B3. [1.0分]振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区域长度。 B4. [2.0分]确定振子的x正方向振动最大偏离量DA在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏离的时间间隔是多少？给出x正方向第n次最大偏离量A(tn)的表达式，其中tn是第n次达到正向最大偏离处的时间。 B5. [1.0分]画出坐标与时间的关系，并估计物体总的振动周数N。 A1. [0.5 p] A3. [1.5 p] E2mgL 摆动； EmgL 谐振动 E=2mgL 趋向于最高点 E2mgL 绕轴转动 相图是两组椭圆的组合： p0对应的上半平面的中心位于x-椭圆的一部分， p0对应的上半平面的中心位于x+椭圆的一部分， 两者在p = 0的地方连续， B4. [1.5 p] 在下半平面椭圆半长轴减小，所以在x轴的交点平移了一个长轴的缩短量： * 发射卫星 质量为m的卫星环绕的地球（质量为M）作半径为R0的圆周运动，求卫星的速度u0。 在上述圆轨道的某一点Q沿切线从u0加速到u1，使之改变轨道，达到远地点P距离地心为R1的椭圆轨道上，求加速后的速度u1，用u0和R0 ，R1表示。 导出卫星远离地球