高等代数知识点总结.pptVIP

解的判定: 1. n元线性方程组Ax=b有解?系数矩阵与增广矩阵的秩数相等. 具体地， 当秩A＜秩(A b)时，方程组无解 当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解 当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解 2. 线性方程组有解?常数列可由系数列线性表示. 此时, 解恰为表示的系数 * 解法 Cramer法则 Gauss-Jordan消元法： 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成RREF 写出RREF方程组 取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量 写出参数解或通解 * 解的结构 齐次线性方程组Ax=0： 解空间：解的集合 基础解系：解空间的基底 通解：设?1,…,?s是一个基础解系,则通解为 ?=c1?1+...+cs?s，其中c1,...,cs是任意常数 解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数 设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系 * 一般线性方程组Ax=b： Ax＝b和Ax=0的解的关系： Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解 Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的线性组合是 设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则 Sb＝S0+?，???Sb 通解：设?1,…,?s是一个基础解系,?是Ax=b的一个解, 则通解为 ?=c1?1+...+cs?s+?，其中c1,...,cs是任意常数 Ax=0的解，当系数和＝0时； Ax=b的解，当系数和＝1时. * 多项式的计算 带余除法 求最大公因式(辗转相除法) 求有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项 既约性判别：Eisenstein判别法 重因式判别 特殊多项式的因式分解 用初等对称多项式表示对称多项式 计算 * 矩阵计算 行列式：①化三角形；②展开+递推 求逆矩阵：①行变换；②伴随 求秩数：①初等变换；②定义 * 方程组的计算 求基础解系： Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 已知秩A＝r，则任何r个无关解都是基础解系 求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 带参数的方程组： 先化简，再判定. 可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时. * 向量的计算 设S：?1,...,?s是n元向量组(无论行或列) 求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数 判断S的相关性： 设x1?1+...+xs?s=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关. 求S的秩数.若秩S?s,则相关；若秩S＝s,则无关 线性表示：令?=x1?1+...+xs?s,将其转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则?可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，?不可由S表示. * 求极大无关组： 若已知秩S＝r，则在S中找出r的无关的向量即可 将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形或RREF，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致. * * 总结 计算 * 基本概念： 次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具 一元多项式 * 重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素?有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. * 因式分解唯一定理 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一. 标准分解定理 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定. 重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素. * 代数学基本定理： 下列陈述等价， 复数域上次数≥1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积 * 实数域上的标准分解定理 在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标