计算方法例题.ppt

从单纯形表立即可以得到如下信息: ①基本量X1=187.5,X2=125, X5=75 ②非基本量X3= X4 =0 ③目标函数f=f0=-21875 用龙贝格算法计算积分 例2. 解 ： 龙贝格算法加工流程如下表 　二分3次，3次加速，得到了二分10次(例3.6)才能求得的结果，所以说龙贝格加速过程的效果是极其显著的。 两点高斯公式为 八. 高斯公式 1.公式 三点高斯公式为 2.举例 九.欧拉法 1.公式 yn+1 = yn + h f (xn, yn) 2.举例 用欧拉法求解初值问题 解 yn+1=yn+hf(xn, yn)=yn+h(xn+yn)=0.1xn+1.1yn x0=0, y0=1, y1=0.1x0+1.1y0=1.1 x1=0.1, y2=0.1x1+1.1y1=1.22 x2=0.2, y3=0.1x2+1.1y2=1.362 十.改进欧拉法 1.公式 2.举例 用欧拉法求解初值问题 解 当x0=0时, y0=1 当 x0=0.1时 当 x0=0.2时 …… 十一.四阶龙格---库塔法 1.公式 2.举例 用欧拉法求解初值问题 解: 当x0=0时，y0=1 当x1=0.1时 当 x0=0.2时 ...... 十二.普通迭代 1.公式 迭代法是一种逐次逼近法，即使用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。也就是迭代后得到一个近似根的序列{xk}，使得该序列的极限就是方程的一个根. 　　对于一般方程f(x)=0，先改写成迭代等价形式x=φ(x)，给出根的某猜测值x0，代入φ(x)，得x1=φ(x0)，再把x1作为新的猜测值，代入φ(x)，得x2=φ(x1)，如此反复，迭代公式为　　　　　　 　　xk+1=φ(xk)　　　　　　　　　 如果迭代序列{xk}有极限，则称迭代收敛，极限值x*= 就是x=φ(x)的根。 迭代基本思想是将隐式方程x=φ(x)的求根归结为计算一组显式公式xk+1=φ(xk)，实质上是一个逐步显式化的过程 2.举例 求方程x3-x-1=0的唯一正根 解: 将方程改写为 x= 迭代公式为 所以方程的根为 　　为了使迭代法有效，必须保证它的收敛性 定理 设φ(x)在［a, b］上具有连续的一阶导数，且 　　(1) 对于任意x∈［a, b］，总有φ(x)∈［a, b］；　　(2) 存在0≤L1，使对任意x∈［a, b］，成立|φ′(x)|≤L；则迭代过程xk+1=φ(xk)对任意初值x0∈［a, b］均收敛于方程x=φ(x)的根，且有下列估计式：　　(1) 　　(2) 　　定理 设φ(x)在x=φ(x)的根x*邻近有连续一阶导数，且|φ′(x)|1，则迭代过程xk+1=φ(xk)具有局部收敛性。 　　例6.2 求方程x=e-x在x=0.5附近的一个根， ε=10-5。　　解 迭代公式为 迭代18次得到近似值0.567 141，收敛速度较慢。 x0=0.5 x1=e-0.5=0.606 531, x2=e-0.606 531=0.545 239,… x16=0.567 135， x17=0.567 148 x18=0.567 141 十三.牛顿法迭代 1.公式 2.举例 牛顿法公式为 相应的迭代函数为 求方程xex-1=0的根， x0=0.5 解 牛顿迭代公式为 所以x*≈0.567 143 十四.弦截法迭代 1.公式 弦 截 法： 快 速 弦 截 法： 2.举例 用快速弦截法求方程xex-1=0的根， x0=0.5, x1=0.6 解： 所以, x*≈0.567 143 十五.雅可比迭代 1.公式 2.举例 求解方程组 解 ： 分离出x1，x2，x3, 得 据此可建立迭代公式 设初值， 　　　　　　　　　，迭代得到 …… 十六.高斯-赛德尔迭代 1.公式 2.举例 上个雅可比迭代例题，按高斯-赛德尔迭代，则应该是 …… 十七.高斯消元法解方程组 1.公式 高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。 求下面方程组的解 2.举例 解： 将第一个方程 的系数消为1，后两行的 消去 将第二个方程 的系数消为1，最后一行的 消去： 将第三个方程 的系数消为1： 回代，可得结果： 十八.LU分解法解方程组 1.公式 = L U