2.2.2.1椭圆地简单几何性质.doc

实用标准文案 精彩文档 2．2.2　椭圆的简单几何性质 图中椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)． 问题1：椭圆具有对称性吗？ 提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形． 问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？ 提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)． 问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？ 提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]． 问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？ 提示：b越小，椭圆越扁． (1)椭圆的简单几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝eq \f(c,a)(0e1) (2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆． 1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，|OP|取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，|OP|取得最大值a，这时P位于长轴端点处． 2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上． 3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)． 第一课时　椭圆的简单几何性质 椭圆的简单的几何性质 　　[例1]　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [思路点拨]　化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质． [精解详析]　将椭圆方程变形为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1， ∴a＝3，b＝2， ∴c＝ eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5). ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2eq \r(5)， 焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)， 顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)， 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3). [一点通]　已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等． 1．若椭圆eq \f(x2,a2)＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),2)　　　　　　　　　　B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(5),2) 解析：由椭圆方程知长轴长为2a ∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝ eq \r(22－12)＝eq \r(3)， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2). 答案：A 2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解：椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1. ∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m?m＋2?,m＋3)0，∴meq \f(m,m＋3)， 即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(\f(m?m＋2?,m＋3)). 由e＝eq \f(\r(3),2)得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1. ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2). ∴椭圆的长轴