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2011级南京理工大学研究生有限元理论作业
1．已知平面应力问题下三节点三角形单元的节点坐标、和；单元的节点位移分量、；材料弹性模量，泊松比。试求：（1）单元的形函数，和；（2）单元内应变和应力分量？
2．图示为一个三个节点的杆单元，为坐标原点，其位移模式取为。设其为常数，试求其单元的刚度矩阵。
O
O
1
2
3
L/2
L/2
x
x
解：
3．已知图示正方形薄板的边长为，厚度为，弹性模量为，泊松比。现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷P。试求节点位移，支座反力以及单元A和单元B内的应力？
2
2
1
3
4
P
y
x
a
a
A
B
i
j
m
i
j
m
解：单元的节点编号如下：
单元节点号
i
j
m
A
1
3
4
B
4
2
1
单元A的节点坐标为：
单元B的节点坐标为：
4．已知集中载荷，试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。
y
y
x
2
1
i(2,2)
j(6,3)
m(5,6)
3
(5,4)
P
30o
解：
5、已知材料的弹性模量和泊松比。计算图示四面体单元的形函数；单元的刚度矩阵中的元素和。
i (0,0,0)
i (0,0,0)
j (3,0,0)
p (2,1,2)
m (1,3,0)
解：
6、图四边形单元受到均匀的重力载荷（单位体积载荷，沿轴负方向）作用，已知单元的厚度为常量，材料的弹性模量和泊松比。试用阶高斯积分计算节点1处的等效节点载荷和单元刚度矩阵中的元素
y
y
x
h
x
3(7,6)
4(1,5)
2(8,1)
1(2,1)
解： = 1 \* GB2 ⑴形函数及其导数为：
其雅可比矩阵为：
， ，
= 2 \* GB2 ⑵ ，
7．写出线性动力学有限元方程，并说明方程中各个符号的力学含义。简介线性动力学有限元方程的求解方法，并且说明方法的思想和分析步骤。
解：线性动力学有限元方程为：
式中 {}，{}和{U}分别为整体节点加速度，速度和位移列阵
分别为整体质量，阻尼和刚度矩阵
{}为整体节点的载荷列阵
线性动力学方程的求解方法有直接积分法和振型叠加法两种。直接积分法是将方程在数值上逐步积分，主要基于以下思想：(1)在时间区间上进行离散，在离散的时间区间上满足动力学平衡方程；(2)假定每个时间区间内位移U，速度和加速度的变化规律。
Newmark方法是直接积分法的一种，它的基本假定为：
其中
将上述假定代入到时刻的平衡方程
可得到
Newmark方法分析步骤如下：
A.初始计算
(1)形成K、M和C矩阵，取,计算下列常数：
(2)给定位移、速度和加速度的初始值：
(3)形成有效刚度矩阵，
(4)对阵进行三角分解，
B.对每个时间步
(1)形成有效载荷向量
(2)求解位移
C.计算速度
8．图示两个三角形单元的集合体，边长为，厚度为，材料的密度为，弹性模量为，泊松比，并且已知阻尼的常数和。写出单元集合体的整体集中质量矩阵和阻尼矩阵。
2
2
1
3
4
y
x
a
a
= 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①
解：
单元的节点编号如下：
单元节点号
i
j
m
单元1
4
2
1
单元2
1
3
4
单元质量矩阵为：
整体一致质量矩阵为：
由题三知整体刚度矩阵为：
则阻尼矩阵为：
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