贝叶斯统计-ch2贝叶斯推断.pptVIP

* 三、例题分析 例2.15 在n次相互独立的贝努里试验成功了x次，试对未来的k次相互独立的贝努里试验中成功次数z作出预测。 解：设成功概率为θ，则样本x的似然函数为: 若取θ的共轭先验分布Be(α，β)，则其后 验密度为： * 新的样本z的似然函数为： 于是在给定x时，z的后验预测分布为： * 实例分析：假设一赌徒在过去10次赌博中赢3次，试对未来5次赌博中他赢的次数z作出预测。 由以上分析可知该赌徒在未来5次赌博中他赢的次数z的后验预测分布为： 由此可计算出z的后验预测概率如下： z 0 1 2 3 4 5 m(z|x=3) 0.1813 0.3022 0.2747 0.1649 0.0641 0.02128 结论:(1)区间[0，3]是z的92%预测区间； (2)在未来5次赌博中能赢1到2次的可能性较大 * 讨论：在无观测数据的情况下，怎样对未来的k次相互独立的贝努里试验中成功次数z作出预测。 k=5时，m(z)=1/6 例2.16 一颗钻石在一架天平上重复称重n次，结果为x1,…,xn，若把这颗钻石放在另一架天平上称重，如何对其称量值作出预测？ （自学） * §2.6 似然原理 1.对似然函数的理解 若设x=(x1,…,xn)是来自密度函数p(x|θ)的一个样本，则其乘积: 有两个解释： (1)当θ给定时，p(x|θ)是样本x的联合密度函数； (2)当样本x的观察值给定时，p(x|θ)是未知参数θ的函数，并称为似然函数，记为L(θ)。 2.似然原理 (1)有了观察值x之后，在做关于θ的推断和决策时，所有与试验有关的θ信息均被包含在似然函数L(θ)之中。 (2)如果有两个似然函数是成比例的，比例常数与θ无关，则他们关于θ含有相同的信息。 * 3.两个学派对似然原理的不同理解而产生的影响。 （教材P68） 例2.17 Lindley和Phillips(1976)的成果 问题的描述：设θ为向上抛一枚硬币时出现正面的概率，现要检验如下二个假设： H0：θ=1/2，H1：θ1/2 为此做了一系列相互独立的抛此硬币的试验，结果出现9次正面和3次反面。怎样作出合理的判断。 * 分析：解决该问题，关键取决于对“一系列试验”的理解。因为事先没有对它有明确的规定，因此可能有如下两种情形： (1)事先已经决定抛12次硬币。在这种情况下，正面出现次数X服从二项分布b(n, θ)，其中n为总试验次数，即n=12，于是相应的似然函数为： (2)事先规定试验进行到出现3次反面为止。则正面出现次数X服从负二项分布Nb(k, θ)，其中k为反面出现次数，即k=3，于是相应的似然函数为： * 经典统计作出的判断： 在二项分布模型和负二项分布模型下，犯第Ⅰ类错误的概率分别为： 如果取α=0.05作为显著性水平，在二项分布模型下，α1α,X=9不包含在拒绝域内，故应接受H0，在负二项分布模型下，α1α，故X=9在拒绝域内，从而拒绝H0，即这两个模型将得出完全不同的结论，这是与似然原理相矛盾的。 * 贝叶斯统计作出的结果： (1)认清假设类型：简单假设对复杂假设 (2)确定先验分布： 其中π0=π1=1/2，g1(θ)=U(0.5,1) (3)计算贝叶斯因子： * 其中 ， k1=220，k2=55， 由此可计算出两种情形下的贝叶斯因子： 因为贝叶斯因子小于1，所以应拒绝原假设H0，而接受备择假设H1。 * 《贝叶斯统计》阶段问卷调查 1.《贝叶斯统计》中你认为最重要的内容是什么？如果要你出一份考题，你将会选择哪些内容？(已讲过的内容) 2.哪些部分是你学得较好的？ 3.哪些部分是你最感兴趣的？ 4.你最欣赏哪些题型？举几个例子(在课本上的例题、习题中选择)。 5.最难学的内容是什么？ 6.哪些知识点是你的弱项？ 7.你认为这门课对你今后专业的学习和工作有什么帮助？ 8.在学习这门课的过程中遇到了哪些困难？ 9.请对你自己在这段时间内学习这门课的态度给一个合理评价。（上课的出勤、听课、作业及课后的复习） 10.请给老师提出更好的建议。 * EX1 设随机变量X的密度函数为 (1)假如θ的先验分布为U(0,1),求θ的后验分布. (2)假如θ的先验分布为 求θ的后验分布及后验期望估计 * EX2 对正态分布N(0,1