二项式定理及典型试题.doc

二项式定理及典型试题 知识点一：二项式定理　二项式定理：，　　其中： 　①公式右边的多项式叫做的二项展开式；　　②展开式中各项的系数叫做二项式系数；　　③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.知识点二：二项展开式的特性　　①项数：有n+1项；　　②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；　　③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；　　④系数：依次为.知识点三：二项式系数的性质　　①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等　　②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.　　③二项式系数之和为，即　　　其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，　　　即 经典例题 1、“展开式 例1．求的展开式； 解：原式=== = 【练习1】求的展开式 2.求展开式中的项 例2.已知在的展开式中，第6项为常数项. 求n； （2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为 因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10. （2）令=2，得所以所求的系数为. （3）根据通项公式，由题意 令，则，故可以取，即r可以取2，5，8. 所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为. 【练习2】若展开式中前三项系数成等差数列.求： 展开式中含的一次幂的项；（2）展开式中所有的有理项. 3.二项展开式中的系数 例3.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）. 解：由题意知，，所以，解得n=5. (1)由二项式系数性质，的展开式中第6项的二项式系数最大.. 设第项的系数的绝对值最大， 得，即，解得. ，故系数的绝对值最大的项是第4项，. [练习3]已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. 求展开式中含的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 例4．的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为 的系数应为：填。 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例5（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ； 解： ，该式展开后常数项只有一项，即 6、求中间项 例6求（的展开式的中间项； 解：展开式的中间项为 即：。 当为奇数时，的展开式的中间项是和； 当为偶数时，的展开式的中间项是。 7、有理项 例7 的展开式中有理项共有 项； 解： 当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。 8、求系数最大或最小项 特殊的系数最大或最小问题 例8（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解： 要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为 一般的系数最大或最小问题 例9求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。 （3）系数绝对值最大的项 例10在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ； 解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理， 故此答案为第4项，和第5项。 9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 例11．若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式=== 【练习1】若， 则 ； 解：，令，有 令，有 故原式== 【练习2】设， 则 ； 解： = =1 10、利用二项式定理求近似值 例15．求的近似值，使误差小于； 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。 解：== ， 且第3项以后的绝对值都小于， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 == 小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似