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立体几何平行、垂直、体积试题 1．（2014?广州模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形，E是A （Ⅰ）当VE﹣ABF=时，求正方形AA1C1 （Ⅱ）当A1F+FB最小时，求证：AE⊥平面A1 解：（Ⅰ）设正方形AA1C 由于E是A1B的中点，△EAB的面积为定值．Ks5u∵CC1∥平面AA1B，∴点F到平面EAB的距离为定值 即为点C到平面平面AA1B的距离 又VE﹣ABF=VF﹣ABE，且= 即，∴x3=8，x=2…（5分） （Ⅱ）解法一：将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．此时FC平行且等于A1 取AB中点O，连接OE，EF，OC，∴OEFC为平行四边形，∵△ABC为正三角形，∴OC⊥AB，又AA1⊥平面ABC，∴OC⊥AA1，且AB∩AA1=A，∴OC⊥平面A1AB，∵AE?平面A1AB，∴OC⊥AE，又EF∥OC，∴AE⊥EF…（11分） 由于E是A1B的中点，所以AE⊥A1B，又A1B∩EF=E， 所以直线AE与平面A1FB垂直…（12分） 解法二：将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．此时FC平行且等于A1 过点E作EG∥A1F交BF于G，则G是BF的中点，．． 过点G作GH⊥BC，交BC于H，则． 又，于是在Rt△AGH中，； 在Rt△ABA1中，． 在△AEG中，AE2+GE2=AG2，∴AE⊥EG，∴AE⊥A1F 由于E是A1B的中点，所以AE⊥A1B，又A1B∩A1F 所以直线AE与平面A1FB垂直…（12分） 2．（2013?淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P为DN的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥MC； （Ⅱ）在线段AB是否存在点E，使得AP∥平面NEC，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC， 又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以MA⊥平面ABCD， 所以MA⊥BD，又因为AC∩MA=A，由线面垂直的判定可得BD⊥平面AMC 又因为AC?平面AMC，所以BD⊥MC； （2）当E为线段AB中点时，会使AP∥平面NEC，下面证明： 取NC中点F，连接EF，PF，可得AE∥CD，且AE=CD， 由三角形的中位线可知，PF∥CD，且PF=CD， 故可得AE∥PF，且AE=PF，即四边形AEPF为平行四边形， 故可得AP∥EF，又AP?平面NEC，EF?平面NEC， 所以AP∥平面NEC， 故当E为线段AB中点时，会使AP∥平面NEC 3．（2013?资阳二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且． （Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1； （Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由． 证明：（I）取AB的中点M，∵，∴F为AM的中点， 又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1 ∴A1D∥BM，A1D=BM， ∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD ∴EF∥BD． ∵BD?平面BC1D，EF?平面BC1D， ∴EF∥平面BC1D． （II）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15， 则， ∵= = ∴，∴， ∴AG=． 所以符合要求的点G不存在． 4．（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置． （1）求证：AE∥平面DCF； （2）当时，求该多面体的体积． 证明：（1）证法1（线面平行的判定定理法）： 过点E作EG⊥CF于G，连结DG 由题设条件可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形， 所以AD∥EG，且AD=EG． 从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG…（4分） 又因为AE?平面DCF，DG?平面DCF， 所以AE∥平面DCF．…（6分） 证法2：（面面平行的性质法） 因为四边形BEFC为梯形，所以BE∥CF． 又因为BE?平面DCF，CF?平面DCF， 所以BE∥平面DCF．…（2分） 因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥DC．同理可证AB∥平面DCF． 又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线， 所以平面ABE∥平面DCF．…（4分） 又因为AE?平面ABE，所以AE